📊 Descripción del Espacio Real

Cálculo II - Ingeniería | UNSJ

1. Espacios R² y R³

Idea Clave

Los espacios $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{R}^3$ son los modelos matemáticos del plano y del espacio tridimensional. En ellos definimos vectores, operaciones y medidas de distancia que nos permiten describir figuras geométricas, rectas, planos y superficies.

1.1 Espacio Bidimensional R²

Espacio R²

Conjunto de todos los pares ordenados $(x, y)$ de números reales. Cada punto $P(x,y)$ del plano se asocia a un vector de posición $\vec{r} = (x, y)$.

Si introducimos las operaciones de suma de vectores y producto por un escalar, obtenemos el espacio vectorial $(\mathbb{R}^2, +, \cdot)$:

$\vec{u} + \vec{v} = (u_1 + v_1,\; u_2 + v_2)$

$\alpha \cdot \vec{v} = (\alpha v_1,\; \alpha v_2)$

Este espacio es bidimensional porque cualquier sistema de dos vectores linealmente independientes (una base) puede generar todos los vectores del plano.

$\text{Base canónica: } B = \{\hat{e}_1, \hat{e}_2\} \quad \text{con } \hat{e}_1 = (1,0), \; \hat{e}_2 = (0,1)$

Todo vector se escribe como: $\vec{r} = (x,y) = x\hat{e}_1 + y\hat{e}_2$

1.2 Producto Escalar y sus Consecuencias

El producto escalar (o producto interno) de dos vectores es:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2$

Forma geométrica: $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos(\theta)$

Con el producto escalar y sus propiedades axiomáticas, $\mathbb{R}^2$ se convierte en un espacio euclídeo, donde definimos:

Ortogonalidad

Dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son ortogonales (perpendiculares) si y solo si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.

$\text{Norma: } |\vec{v}| = \sqrt{\vec{v} \cdot \vec{v}} = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}$

La norma mide el módulo (longitud) del vector.

$\text{Versor: } \hat{v} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$

Es el vector unitario (norma = 1) en la dirección de $\vec{v}$. Se obtiene dividiendo el vector por su norma.

$\text{Ángulo: } \cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}$

Ángulo entre dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$.

$\text{Distancia: } d(\vec{u}, \vec{v}) = |\vec{u} - \vec{v}| = \sqrt{(u_1 - v_1)^2 + (u_2 - v_2)^2}$

1.3 Espacio Tridimensional R³

Espacio R³

Extensión de $\mathbb{R}^2$ al espacio tridimensional con ternas ordenadas $(x, y, z)$. Base canónica: $\hat{e}_1 = (1,0,0)$, $\hat{e}_2 = (0,1,0)$, $\hat{e}_3 = (0,0,1)$.

Todas las operaciones y conceptos de $\mathbb{R}^2$ se extienden naturalmente a $\mathbb{R}^3$ (producto escalar, norma, distancia, etc.), y además se incorporan el producto vectorial y el producto mixto.

2. Productos Vectoriales

2.1 Producto Vectorial

Producto Vectorial

Dados dos vectores $\vec{u} = (u_1, u_2, u_3)$ y $\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)$ en $\mathbb{R}^3$, su producto vectorial $\vec{w} = \vec{u} \times \vec{v}$ es un vector perpendicular a ambos, cuyo sentido viene dado por la regla del sacacorchos.

$$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{e}_1 & \hat{e}_2 & \hat{e}_3 \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}$$

Desarrollando: $\vec{u} \times \vec{v} = (u_2 v_3 - u_3 v_2)\hat{e}_1 - (u_1 v_3 - u_3 v_1)\hat{e}_2 + (u_1 v_2 - u_2 v_1)\hat{e}_3$

$|\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}|\,|\vec{v}|\sin(\theta)$

El módulo del producto vectorial representa el área del paralelogramo formado por los dos vectores.

Producto vectorial: u × v ⊥ al plano de u y v

Arrastra para rotar

Propiedades del producto vectorial

Anticonmutativo: $\vec{u} \times \vec{v} = -(\vec{v} \times \vec{u})$
Vectores paralelos: $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{0}$ si y solo si son paralelos
Distributivo: $\vec{u} \times (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \times \vec{v} + \vec{u} \times \vec{w}$

2.2 Producto Mixto

Producto Mixto

Dados tres vectores $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ en $\mathbb{R}^3$, el producto mixto es el escalar: $\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})$.

$$\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = \begin{vmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix}$$

Su valor absoluto representa el volumen del paralelepípedo construido sobre los tres vectores.

Producto mixto: volumen del paralelepípedo

Arrastra para rotar

Coplanaridad

Si el producto mixto es cero, los tres vectores son coplanares (están en el mismo plano).

3. Espacio n-dimensional Rⁿ

Espacio Rⁿ

Generalización de $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{R}^3$ a n dimensiones. Es el conjunto de todas las n-tuplas ordenadas de números reales.

$$\mathbb{R}^n = \{(x_1, x_2, \ldots, x_n) \;/\; x_i \in \mathbb{R}\}$$

Las operaciones se extienden componente a componente:

$\text{Producto escalar: } \vec{u} \cdot \vec{v} = \sum_{i=1}^{n} u_i v_i$

$\text{Norma: } |\vec{v}| = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} v_i^2}$

$\text{Distancia: } d(\vec{u}, \vec{v}) = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (u_i - v_i)^2}$

4. Subconjuntos Importantes de R²

Entorno

El entorno de centro $\vec{x}$ y radio $\delta > 0$ es el conjunto de puntos cuya distancia a $\vec{x}$ es menor que $\delta$:

$$E(\vec{x}, \delta) = \{\vec{y} \in \mathbb{R}^2 \;/\; d(\vec{x}, \vec{y}) < \delta\}$$

Geométricamente, es un disco abierto centrado en $\vec{x}$.

Conjunto Abierto

Un subconjunto $A$ de $\mathbb{R}^2$ es abierto si cualquier punto $\vec{x} \in A$ admite un entorno incluido en $A$.

Conjunto Cerrado

Un subconjunto $F$ es cerrado si su complemento $F^c$ es abierto. Equivalentemente, contiene todos sus puntos de acumulación (puntos frontera).

Conjunto Conexo

Un subconjunto $C$ es conexo si cualquier par de puntos de $C$ se puede unir con una poligonal incluida en $C$.

Tipos de conexidad

Simplemente conexo: sin agujeros (toda poligonal cerrada encierra solo puntos del conjunto)
Doblemente conexo: un agujero
Múltiplemente conexo: varios agujeros

Estas definiciones se extienden al espacio tridimensional $\mathbb{R}^3$ y, en general, a $\mathbb{R}^n$.

5. Rectas en el Plano

Recta en R²

Se define por un punto conocido $P_0(x_0, y_0)$ y un vector director $\vec{d} = (u, v)$. Un punto arbitrario $P(x,y)$ pertenece a la recta si existe $t \in \mathbb{R}$ tal que $\vec{r} = \vec{r}_0 + t\vec{d}$.

5.1 Ecuaciones de la Recta en R²

$\vec{r} = \vec{r}_0 + t\vec{d}$

Ecuación vectorial de la recta.

$\begin{cases} x = x_0 + t \cdot u \\ y = y_0 + t \cdot v \end{cases}$

Ecuaciones paramétricas escalares (se obtienen igualando componentes).

$$\frac{x - x_0}{u} = \frac{y - y_0}{v}$$

Ecuación simétrica (despejando $t$ de las paramétricas).

$y = mx + b$

Ecuación explícita, donde $m = \frac{v}{u}$ es la pendiente.

$Ax + By + C = 0$

Ecuación implícita (general) de la recta.

$$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$$

Ecuación segmentaria: $a$ y $b$ son las intersecciones con los ejes $x$ e $y$.

5.2 Recta que pasa por dos puntos

$$\frac{x - x_0}{x_1 - x_0} = \frac{y - y_0}{y_1 - y_0}$$

Dados los puntos $P_0(x_0, y_0)$ y $P_1(x_1, y_1)$.

6. Rectas en el Espacio

Se extienden las ecuaciones del plano al espacio $\mathbb{R}^3$, con un punto $P_0(x_0, y_0, z_0)$ y vector director $\vec{d} = (u, v, w)$.

$\vec{r} = \vec{r}_0 + t\vec{d}$

Ecuación vectorial

$\begin{cases} x = x_0 + t \cdot u \\ y = y_0 + t \cdot v \\ z = z_0 + t \cdot w \end{cases}$

Ecuaciones paramétricas

$$\frac{x - x_0}{u} = \frac{y - y_0}{v} = \frac{z - z_0}{w}$$

Ecuación simétrica

Recta en R³: r = (1,1,0) + t·(2,1,1.5)

Arrastra para rotar

Diferencia con R²

En el espacio, una recta no se puede describir con una sola ecuación implícita. Se necesitan dos planos cuya intersección define la recta.

7. Planos

Plano en R³

Se define por un punto $P_0(x_0, y_0, z_0)$ y un vector normal $\vec{n} = (a, b, c)$. Todo punto $P(x,y,z)$ del plano verifica que $\vec{P_0P}$ es ortogonal a $\vec{n}$.

Plano en R³: vector normal n perpendicular al plano

Arrastra para rotar

$\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{r}_0) = 0$

Ecuación vectorial del plano

$a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$

Desarrollando, se obtiene la ecuación general:

$$ax + by + cz + d = 0$$

Los coeficientes $a, b, c$ son las componentes del vector normal $\vec{n}$.

7.1 Plano que pasa por tres puntos

Dados $P_0$, $P_1$, $P_2$, obtenemos el vector normal como:

$\vec{n} = \vec{P_0P_1} \times \vec{P_0P_2}$

Luego sustituimos en la ecuación vectorial. También se puede usar el determinante:

$$\begin{vmatrix} x - x_0 & y - y_0 & z - z_0 \\ x_1 - x_0 & y_1 - y_0 & z_1 - z_0 \\ x_2 - x_0 & y_2 - y_0 & z_2 - z_0 \end{vmatrix} = 0$$

7.2 Ejemplo Resuelto

Ejemplo

Hallar el plano que pasa por $P(1,3,2)$, $Q(3,-1,2)$, $R(0,1,2)$ y la recta normal por $P$.

Paso 1: Vectores del plano:

$$\vec{PQ} = (2, -4, 0) \qquad \vec{PR} = (-1, -2, 0)$$

Paso 2: Vector normal:

$$\vec{n} = \vec{PQ} \times \vec{PR} = \begin{vmatrix} \hat{e}_1 & \hat{e}_2 & \hat{e}_3 \\ 2 & -4 & 0 \\ -1 & -2 & 0 \end{vmatrix} = (0, 0, -8)$$

Paso 3: Ecuación del plano:

$$0(x-1) + 0(y-3) - 8(z-2) = 0 \implies z = 2$$

Recta normal por P:

$$x = 1, \quad y = 3, \quad z = 2 - 8t$$

8. Secciones Cónicas

Ecuación general de las cónicas

Una sección cónica es la gráfica de la ecuación: $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$

Según los coeficientes, puede representar una parábola, elipse o hipérbola.

8.1 Parábola

Parábola

Conjunto de puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

$y^2 = 4px$

Forma canónica con vértice en el origen y eje horizontal.

Foco: $F = (p, 0)$ | Directriz: $x = -p$

Con vértice en $P_0(x_0, y_0)$:

Eje horizontal

$(y - y_0)^2 = 4p(x - x_0)$

Eje vertical

$(x - x_0)^2 = 4p(y - y_0)$

8.2 Elipse

Elipse

Conjunto de puntos del plano $P(x,y)$ cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos $F_1(c,0)$ y $F_2(-c,0)$ es constante e igual a $2a$.

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$

Con $a > b > 0$ y la relación fundamental:

$c^2 = a^2 - b^2$

Excentricidad: $e = \frac{c}{a}$, con $0 < e < 1$

Elemento	Valor
Centro	$(0, 0)$
Focos	$(\pm c, 0)$
Vértices	$(\pm a, 0)$
Semieje mayor	$a$
Semieje menor	$b$

Elipse centrada en $P_0(x_0, y_0)$:

$$\frac{(x - x_0)^2}{a^2} + \frac{(y - y_0)^2}{b^2} = 1$$

8.3 Hipérbola

Hipérbola

Conjunto de puntos del plano $P(x,y)$ cuya diferencia de distancias (en valor absoluto) a dos puntos fijos llamados focos es constante e igual a $2a$.

$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$

Con la relación: $c^2 = a^2 + b^2$

$\text{Asíntotas: } y = \pm\frac{b}{a}x$

Excentricidad: $e = \frac{c}{a}$, con $e > 1$

Elemento	Valor
Centro	$(0, 0)$
Focos	$(\pm c, 0)$
Vértices	$(\pm a, 0)$
Asíntotas	$y = \pm\frac{b}{a}x$

Hipérbola centrada en $P_0(x_0, y_0)$:

$$\frac{(x - x_0)^2}{a^2} - \frac{(y - y_0)^2}{b^2} = 1$$

Resumen de excentricidades

Elipse: $0 < e < 1$ (cuanto más cercana a 0, más circular)
Parábola: $e = 1$
Hipérbola: $e > 1$

9. Superficies Cuádricas

Superficie Cuádrica

Superficie definida por una ecuación de segundo grado en tres variables. La ecuación general es: $Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0$

Eliminando traslación y rotación, se reduce a la forma: $Ax^2 + By^2 + Cz^2 + J = 0$ o $Ax^2 + By^2 + Iz + J = 0$

9.1 Paraboloides

Paraboloide Elíptico

$$z = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}$$

Forma de "tazón". Trazas horizontales: elipses. Trazas verticales: parábolas.

Paraboloide Hiperbólico

$$z = \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}$$

Forma de "silla de montar". Trazas horizontales: hipérbolas. Trazas verticales: parábolas.

Paraboloide elíptico (a=1, b=1)

Arrastra para rotar

Paraboloide hiperbólico — silla de montar

Arrastra para rotar

9.2 Elipsoide

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$$

Todas las trazas son elipses. Si $a = b = c$, es una esfera.

Elipsoide (a=2, b=1.2, c=1.5)

Arrastra para rotar

9.3 Cono Elíptico

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \frac{z^2}{c^2}$$

Trazas horizontales: elipses que degeneran en un punto en el origen. Pasa por el origen.

Cono elíptico

Arrastra para rotar

9.4 Hiperboloides

De una hoja

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$$

Superficie conexa. Trazas horizontales: elipses. Trazas verticales: hipérbolas.

De dos hojas

$$-\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$$

Dos piezas separadas. Trazas horizontales: elipses (solo para $|z| > c$).

Hiperboloide de una hoja

Arrastra para rotar

Hiperboloide de dos hojas

Arrastra para rotar

9.5 Cilindros

Son superficies generadas por una curva en un plano coordenado y extendida a lo largo del eje restante.

$\text{Cilindro elíptico: } \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

La variable $z$ no aparece, por lo que se extiende infinitamente en esa dirección.

Cilindro elíptico (a=1.2, b=0.8)

Arrastra para rotar

$\text{Superficie cilíndrica general: } z = f(x)$

La curva $z = f(x)$ en el plano $xz$ se extiende en la dirección $y$.

Clave para identificar cuádricas

Contar cuántas variables tienen término cuadrático
Observar los signos de los términos cuadráticos
Si falta una variable al cuadrado: paraboloide o cilindro
Si todos los signos son iguales: elipsoide
Si hay signos mixtos: hiperboloide, cono o paraboloide hiperbólico

10. Ejercicios de Aplicación

Práctica

Ejercicios propuestos del apunte para aplicar todos los conceptos de esta unidad.

Ejercicio 1 — Rectas en R²

Hallar las ecuaciones de las siguientes rectas y graficarlas:

Recta que pasa por $P_0(5, -3)$ y $P_1(-1, 3)$
Recta que pasa por $P_0(2, 4)$ y es paralela a $y = -x + 2$
Recta que pasa por $P_0(2, -3)$ y es perpendicular a $5x + 2y - 3 = 0$
Recta que corta al eje $x$ en $-5$ y al eje $y$ en $3$

Ejercicio 2 — Planos en R³

Determinar la ecuación del plano e indicar el vector normal:

Plano por $P_0(1,1,1)$, $P_1(2,-1,3)$, $P_2(3,1,-2)$
Plano por $P_0(3,2,1)$ que contiene a los vectores $\vec{a} = (2,-1,0)$ y $\vec{b} = (3,1,4)$
Plano que intersecta los ejes en $5$, $3$ (positivos) y $-2$

Ejercicio 3 — Rectas en R³

Determinar las ecuaciones de la recta:

Recta por $P_0(1,0,1)$ en la dirección de $\vec{a} = (4,6,2)$
Recta normal al plano $2x + y + 3 = 0$ que pasa por $P_0(2,2,2)$
Recta por $P_0(2,-1,-4)$ y $P_1(3,-2,1)$

Ejercicio 4 — Identificar cónicas

Identificar y graficar las siguientes cónicas:

$y = \frac{1}{2}x^2 - 2$
$3y = x^2 - 18x + 15$
$x^2 + 9y^2 = 14$
$xy = 4$
$4x^2 - 9y^2 = 1$
$y = -2x^2 - x + 6$
$y = x^2 - 2x + 3$ (completar cuadrado)
$4x^2 + 5y^2 = 12$
$(x - 3)^2 + y^2 = 4$
$x - y = 1$

Ejercicio 5 — Cuádrica con trazas

Representar gráficamente la cuádrica $z = \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9}$ y sus intersecciones con los planos: $z = 0$, $z = 1$, $z = 4$, $z = -2$.

Ejercicio 6 — Superficies cuádricas

Representar gráficamente y hallar intersecciones con ejes y planos coordenados:

$y = -3(x^2 + z^2)$
$y = x^2 + 3z^2$
$x^2 + y^2 = 9$
$x^2 + 4z^2 = 4$
$z = x^2$
$x^2 + 9y^2 + \frac{z^2}{4} = 1$
$y - x^2 + z^2 = 1$
$x^2 + \frac{y^2}{9} - \frac{z^2}{4} = 1$

Ejercicio 7 — Escribir ecuaciones

Escribir las ecuaciones de:

Circunferencia de centro $P_0(3, -2)$ y radio 5
Elipse de semiejes 5 y 3, centrada en $P_0(-2, 0)$
Esfera de centro $P_0(1, -2, 4)$ y radio 2
Cilindro de revolución en torno al eje $OX$ y radio 4
Paraboloide de revolución en torno al eje $OZ$, vértice en $(0,0,4)$, intersección con $OXY$ de radio 1

Ejercicio 8 — Antena parabólica

El plato de una antena parabólica tiene 6 m de radio y 2 m de profundidad.

Realizar un dibujo esquemático con el vértice en el origen y el eje focal en las abscisas
Escribir la ecuación del perfil parabólico
¿A qué distancia del fondo del plato se ubica el colector de señales (foco)?

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Elemento	Valor
Centro	\((0, 0)\)
Focos	\((\pm c, 0)\)
Vértices	\((\pm a, 0)\)
Semieje mayor	\(a\)
Semieje menor	\(b\)