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Cálculo II

El Problema de la Aproximación y la Diferencial

Cálculo II - Ingeniería | UNSJ

1. El Problema de la Aproximación

Idea Clave

La teoría de la diferenciación es la base de cualquier desarrollo de cálculo aproximado. Cuando medimos o calculamos el valor de una magnitud, lo hacemos siempre con una aproximación determinada y cometemos en consecuencia un error. En esta unidad se introduce la diferencial como herramienta para aproximar funciones, el plano tangente como aproximación geométrica, y el desarrollo en serie de Taylor para lograr aproximaciones de mayor precisión.

Las funciones matemáticas más utilizadas para modelar cualquier situación son los polinomios, por ser las más sencillas y de más fácil manejo en el cálculo. Los polinomios de primer grado constituyen el modelo imprescindible para los procesos lineales. Algunos procesos se modelan con mayor exactitud mediante polinomios de segundo grado.

Idea fundamental

Se considerarán campos escalares definidos en un conjunto abierto, continuos y derivables con continuidad en cualquier punto de su dominio y en cualquier dirección. El objetivo es aproximar estos campos por polinomios, controlando el error cometido.

Existen dos formas de mejorar una aproximación:

  • Aumentar el grado del polinomio aproximante (más términos de Taylor)
  • Trabajar en un entorno más pequeño del punto de desarrollo

2. Diferencial de una Función

Sean \(P_0(x_0, y_0)\) un punto fijo del dominio de la función \(z = f(x, y)\) y un punto variable \(P(x, y)\) de un entorno circular de \(P_0\). Los incrementos de las variables independientes son:

$$\Delta x = x - x_0 = h \qquad \Delta y = y - y_0 = k$$

Y el incremento de la función es \(\Delta z = z - z_0 = f(x, y) - f(x_0, y_0)\).

Por la hipótesis de continuidad de las derivadas parciales, la derivada direccional en \(P_0\) es:

$$D_{\hat{n}} z = \lim_{\rho \to 0} \frac{\Delta z}{\rho} = z_x \cdot \frac{\Delta x}{\rho} + z_y \cdot \frac{\Delta y}{\rho}$$

De aquí podemos escribir:

$$\frac{\Delta z}{\rho} = z_x \cdot \frac{\Delta x}{\rho} + z_y \cdot \frac{\Delta y}{\rho} + \varepsilon$$

Donde \(\varepsilon \to 0\) cuando \(\rho \to 0\). Multiplicando por \(\rho\):

$$\boxed{\Delta z = z_x \cdot \Delta x + z_y \cdot \Delta y + \rho \cdot \varepsilon = dz + E}$$

Diferencial de z = f(x, y)

La diferencial de la función en \(P_0\) es la parte principal (lineal) del incremento:

$$dz = z_x \cdot \Delta x + z_y \cdot \Delta y$$

Y el error es \(E = \rho \cdot \varepsilon\), que tiende a cero con más potencia que \(dz\).

Incremento ≈ Diferencial

Cuando \(\rho \to 0\), tanto \(\Delta z\) como \(dz\) tienden a cero, pero el error \(E = \varepsilon \cdot \rho\) tiende a cero más rápido (porque \(\varepsilon\) también tiende a cero). Esto autoriza a considerar:

$$\Delta z \approx dz$$

Cuanto más cerca esté \(P\) de \(P_0\), mejor es la aproximación.

Usando \(dx = \Delta x\) y \(dy = \Delta y\) (para variables independientes), la diferencial se escribe:

$$dz = z_x \cdot dx + z_y \cdot dy$$

Como \(\Delta z \approx dz\), obtenemos la aproximación lineal de la función:

$$\boxed{z \approx z_0 + dz(P_0)}$$

Es decir, \(f(x, y) \approx f(x_0, y_0) + f_x(P_0) \cdot dx + f_y(P_0) \cdot dy\).

Significado geométrico

La diferencial \(dz\) mide la variación de altura sobre el plano tangente a la superficie, mientras que \(\Delta z\) mide la variación real sobre la superficie. La diferencia entre ambas es el error \(E\).

Superficie z = x² + y²: Δz vs dz

Arrastra para rotar

3. Ecuación del Plano Tangente a una Superficie

Se sabe que \(\vec{\nabla} F(x, y, z) = (F_x, F_y, F_z)\) es perpendicular a la superficie \(F(x, y, z) = c\). El plano tangente a la superficie en el punto \(P_0(x_0, y_0, z_0)\) es tal que cualquier punto \((x, y, z)\) sobre el plano verifica:

$$\vec{\nabla} F(P_0) \cdot (x - x_0,\, y - y_0,\, z - z_0) = 0$$

Plano tangente (forma implícita)

Si la superficie está dada como \(F(x, y, z) = c\), el plano tangente en \(P_0\) es:

$$\boxed{F_x(P_0)(x - x_0) + F_y(P_0)(y - y_0) + F_z(P_0)(z - z_0) = 0}$$

Forma explícita: \(z = f(x, y)\)

Si la función está expresada en forma explícita \(z = f(x, y)\), escribimos \(F(x,y,z) = f(x,y) - z = 0\), con lo cual:

$$\vec{\nabla} F(x,y,z) = (f_x,\, f_y,\, -1)$$

Sustituyendo en la ecuación general:

$$f_x(P_0)(x - x_0) + f_y(P_0)(y - y_0) - (z - z_0) = 0$$

Plano tangente (forma explícita)

El plano tangente a \(z = f(x, y)\) en \(P_0(x_0, y_0)\) con \(z_0 = f(x_0, y_0)\):

$$\boxed{z - z_0 = f_x(P_0)(x - x_0) + f_y(P_0)(y - y_0)}$$

Observar que esta ecuación es equivalente a la aproximación lineal \(z \approx z_0 + dz\).

Ejemplo: Plano tangente a \(z = x^2 + y^2\) en \(Q_0(1, 1, 2)\)

$$f_x = 2x \Rightarrow f_x(1,1) = 2 \qquad f_y = 2y \Rightarrow f_y(1,1) = 2$$
$$z - 2 = 2(x - 1) + 2(y - 1) \quad \Rightarrow \quad z = 2x + 2y - 2$$

El plano tangente es una aproximación lineal de la superficie cerca del punto de tangencia.

Observación: La diferencial, el plano tangente y la aproximación lineal de Taylor son tres formas equivalentes de ver lo mismo: una aproximación lineal de \(f\) cerca de \(P_0\).

4. Diferenciales Sucesivas de \(z = f(x, y)\)

Según lo visto, la diferencial de \(z = f(x, y)\) es \(dz = z_x\,dx + z_y\,dy = z_x\,h + z_y\,k\). Cuando se trabaja en un punto cualquiera del dominio, su diferencial es también función de \(x\), \(y\), a la que se podrá aplicar el mismo proceso para obtener la diferencial segunda.

$$dz = z_x\,h + z_y\,k = \left(h\frac{\partial}{\partial x} + k\frac{\partial}{\partial y}\right) z$$
$$d^2 z = d(dz) = (z_{xx}\,h + z_{xy}\,k)h + (z_{yx}\,h + z_{yy}\,k)k = \left(h\frac{\partial}{\partial x} + k\frac{\partial}{\partial y}\right)^2 z$$

Diferencial de orden n

La diferencial de orden \(n\) de \(z = f(x, y)\) se expresa como:

$$\boxed{d^n z = \left(h\frac{\partial}{\partial x} + k\frac{\partial}{\partial y}\right)^n z}$$

Aparece un operador simbólico aplicado a \(z\), como potencia enésima de un binomio. Al desarrollarse, aparecen las derivadas sucesivas correspondientes.

Desarrollo de las primeras diferenciales

Expandiendo el binomio para las primeras órdenes:

$$d^2 z = z_{xx}\,h^2 + 2z_{xy}\,hk + z_{yy}\,k^2$$

Binomio al cuadrado con tres términos.

$$d^3 z = z_{xxx}\,h^3 + 3z_{xxy}\,h^2k + 3z_{xyy}\,hk^2 + z_{yyy}\,k^3$$

Binomio al cubo con cuatro términos.

Funciones analíticas

Las funciones analíticas (exponenciales, senoidales, cosenoidales) admiten infinitas diferenciales. Los polinomios también se pueden diferenciar indefinidamente, pero todas las diferenciales son nulas a partir del orden superior al grado del polinomio.

5. Desarrollo en Serie de Taylor de \(z = f(x, y)\)

Repaso: Taylor para \(y = f(x)\) de una variable

Se remite al repaso del desarrollo en serie de Taylor para la función de una variable:

$$f(x) - f(x_0) = df(x_0) + \frac{1}{2!}d^2f(x_0) + \frac{1}{3!}d^3f(x_0) + \cdots + \frac{1}{n!}d^nf(x_0) + E_{n+1}$$

Donde \(d^p f = \frac{d^p f}{dx^p} \cdot h^p\) con \(h = x - x_0 = \Delta x = dx\). Cuando la serie se hace en torno al origen (\(x_0 = 0\)), se llama serie de Mac Laurin.

Taylor para \(z = f(x, y)\) de dos variables

Pasando ahora a la función de dos variables independientes, el desarrollo en serie de Taylor se expresa de la siguiente manera:

Serie de Taylor en dos variables

Sea \(z = f(x, y)\) una función con derivadas parciales continuas de todos los órdenes necesarios en un entorno de \(P_0(x_0, y_0)\):

$$\boxed{f(x,y) - f(x_0,y_0) = df(P_0) + \frac{1}{2!}d^2f(P_0) + \frac{1}{3!}d^3f(P_0) + \cdots + \frac{1}{n!}d^nf(P_0) + E_{n+1}}$$

Donde \(d^p f = \left(h\frac{\partial}{\partial x} + k\frac{\partial}{\partial y}\right)^p f\), con \(h = x - x_0 = dx\), \(k = y - y_0 = dy\).

Observaciones clave
  • El desarrollo se realiza en un entorno del punto \(P_0(x_0, y_0)\) del plano \(OXY\). Si \(P_0 = (0, 0)\), se llama serie de Mac Laurin.
  • La fórmula da el valor del incremento de la función al pasar de \(P_0\) al punto próximo \(P(x, y)\).
  • Las diferenciales sucesivas están evaluadas en \(P_0\).
  • Cuando se trunca a partir del término enésimo, el error \(E_{n+1}\) tiende a cero más rápido que los términos anteriores, si \(P\) está próximo a \(P_0\).
  • La primera aproximación es la lineal (plano tangente); la segunda es la cuadrática (superficie parabólica tangente).

Aproximación lineal (primer orden)

$$f(x,y) \approx f(x_0, y_0) + f_x(P_0)\,h + f_y(P_0)\,k$$

Geométricamente: la porción de superficie se reemplaza por el plano tangente en \(P_0\).

Aproximación cuadrática (segundo orden)

$$f(x,y) \approx f(P_0) + f_x\,h + f_y\,k + \frac{1}{2}\left(f_{xx}\,h^2 + 2f_{xy}\,hk + f_{yy}\,k^2\right)$$

Geométricamente: la porción de superficie se reemplaza por una superficie parabólica tangente (cuádrica). Tiene menor error que la aproximación lineal.

Ejemplo: Serie de Mac Laurin de \(z = e^{x+y}\)

En este caso \(P_0(0, 0)\), \(f(0, 0) = 1\), \(h = x\), \(k = y\). Todas las derivadas parciales de \(e^{x+y}\) valen 1 en el origen. Así:

$$e^{x+y} = 1 + (x + y) + \frac{1}{2}(x + y)^2 + \frac{1}{3!}(x + y)^3 + \frac{1}{4!}(x + y)^4 + \cdots$$

Las distintas aproximaciones son:

  • Lineal: \(e^{x+y} \approx 1 + x + y\) (plano tangente en \(Q_0(0,0,1)\))
  • Cuadrática: \(e^{x+y} \approx 1 + x + y + \frac{1}{2}(x+y)^2\)
  • Cúbica: \(e^{x+y} \approx 1 + x + y + \frac{1}{2}(x+y)^2 + \frac{1}{6}(x+y)^3\)

A medida que aumentamos el grado del polinomio de Taylor, el ajuste mejora respecto a la superficie.

Superficie z = e^(x+y) y su plano tangente z = 1 + x + y en el origen

Arrastra para rotar

Resumen de la Unidad

  • Diferencial: \(dz = z_x\,dx + z_y\,dy\) — parte principal del incremento
  • Incremento: \(\Delta z = dz + E\), con \(E \to 0\) más rápido que \(dz\)
  • Aproximación lineal: \(z \approx z_0 + dz(P_0)\)
  • Plano tangente (explícita): \(z - z_0 = f_x(x-x_0) + f_y(y-y_0)\)
  • Plano tangente (implícita): \(F_x(x-x_0) + F_y(y-y_0) + F_z(z-z_0) = 0\)
  • Diferencial de orden n: \(d^n z = \left(h\frac{\partial}{\partial x} + k\frac{\partial}{\partial y}\right)^n z\)
  • Serie de Taylor: \(f(x,y) - f(P_0) = \sum_{p=1}^{n} \frac{1}{p!} d^p f(P_0) + E_{n+1}\)
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