Puntos Estacionarios, Máximos y Mínimos

Cálculo II - Ingeniería | UNSJ

1. Modelado Matemático y Desarrollo

Idea Clave

En numerosas situaciones de la Ingeniería, la Economía y la Física se necesita encontrar los valores extremos (máximos y mínimos) de funciones de varias variables. Esta unidad desarrolla las herramientas para identificar puntos estacionarios, clasificarlos mediante el análisis de la diferencial segunda, y resolver problemas de optimización con restricciones usando el método de los multiplicadores de Lagrange.

Se recordarán los conocimientos adquiridos en Cálculo I sobre máximos y mínimos de funciones de una variable. En el gráfico de una curva plana:

En una cima (máximo), la recta tangente es horizontal y la curva está por debajo de ella a ambos lados.
En un valle (mínimo), la recta tangente es horizontal y la curva está por encima de ella a ambos lados.
En un punto de inflexión horizontal, la recta tangente es horizontal pero la curva está por encima de un lado y por debajo del otro.

Extensión a superficies en R³

Para una superficie $z = f(x, y)$ en $\mathbb{R}^3$, se observa que el plano tangente en cada punto extremo es horizontal:

Máximo: toda la superficie cae por debajo del plano tangente en un entorno del punto. El incremento $\Delta z \leq 0$.
Mínimo: toda la superficie queda por encima del plano tangente. El incremento $\Delta z \geq 0$.
Punto silla (puerto): la superficie atraviesa el plano tangente, quedando por encima en unas direcciones y por debajo en otras. El incremento $\Delta z$ cambia de signo.

En los tres casos, la función deja de crecer o decrecer en el punto: la variación elemental es nula, es decir, su primera derivada es nula cualquiera sea la dirección en que se derive. Son puntos estacionarios.

Superficie z = x² + y²: mínimo en el origen

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2. Puntos Estacionarios de $z = f(x, y)$

Sea $z = f(x, y)$ una función con derivadas parciales continuas cuantas veces se precise en el punto $P_0(a, b)$ de su dominio. Si $z_0 = f(a, b)$, el punto $Q_0(a, b, z_0)$ pertenecerá a la superficie correspondiente.

Punto estacionario

El punto $P_0$ del dominio es estacionario para la función $z = f(x, y)$ si el gradiente de la función en el mismo es el vector nulo:

$$P_0 \text{ es estacionario} \iff \vec{\nabla} f(P_0) = (f_x(P_0),\, f_y(P_0)) = \vec{0}$$

Es decir, se deben cumplir simultáneamente:

$$\boxed{f_x(P_0) = 0 \qquad f_y(P_0) = 0}$$

Esto forma un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas $(x, y)$ cuyas soluciones son los puntos estacionarios.

En un punto estacionario, el plano tangente a la superficie es horizontal (contiene a la recta tangente en cualquier dirección).

Tipos de puntos estacionarios

Máximo relativo

El punto estacionario $P_0(a, b)$ proporciona un valor máximo a $z = f(x, y)$ si existe un entorno circular de $P_0$ en el que $\Delta z = z - z_0 \leq 0$ para todo punto del entorno. La superficie está por debajo del plano tangente en $Q_0$.

Mínimo relativo

El punto estacionario $P_0(a, b)$ proporciona un valor mínimo a $z = f(x, y)$ si existe un entorno circular de $P_0$ en el que $\Delta z = z - z_0 \geq 0$ para todo punto del entorno. La superficie está por encima del plano tangente en $Q_0$.

Punto silla (puerto o ensilladura)

El punto estacionario $P_0(a, b)$ proporciona un punto silla si para todo entorno circular de $P_0$, se verifica que $\Delta z < 0$ en unos puntos y $\Delta z > 0$ en otros. La superficie atraviesa el plano tangente.

Observación: Los extremos encontrados son relativos (locales) en un determinado entorno, no absolutos en todo el dominio (aunque a veces pueden coincidir). Además, son extremos libres, ya que la función no está sujeta a ninguna condición adicional.

Superficie z = y² − x²: punto silla en el origen

Arrastra para rotar

3. ¿Cómo Determinar los Extremos de $z = f(x, y)$?

Paso I: Cálculo de los puntos estacionarios

De la definición se deduce que hay que resolver la ecuación vectorial $\vec{\nabla} z = \vec{0}$, que da lugar al sistema:

$$\begin{cases} z_x = f_x(x, y) = 0 \\ z_y = f_y(x, y) = 0 \end{cases}$$

Todas las soluciones $P_i(x_i, y_i)$ de este sistema son los puntos estacionarios de la función.

Paso II: Análisis y discernimiento de los puntos estacionarios

Sea $P_0(x_0, y_0)$ una solución del sistema anterior. ¿Proporcionará un extremo relativo o será un punto silla?

El desarrollo en serie de Taylor de $z = f(x, y)$ en torno al punto estacionario $P_0$:

$$\Delta z = dz + \frac{1}{2}d^2z(P_0) + E_3$$

Por tratarse de un punto estacionario, la diferencial primera vale cero ($dz = 0$), por lo que:

$$\boxed{\Delta z = \frac{1}{2}d^2z(P_0) + E_3}$$

Como $E_3$ tiende a cero con más vigor que la diferencial segunda, muy cerca del punto:

Criterio de clasificación

El signo de $d^2z(P_0)$ determina el signo de $\Delta z$ y, por lo tanto, la naturaleza del punto estacionario:

Si $d^2z(P_0) \leq 0$ en un entorno ⇒ $P_0$ proporciona un máximo.
Si $d^2z(P_0) \geq 0$ en un entorno ⇒ $P_0$ proporciona un mínimo.
Si $d^2z(P_0)$ cambia de signo en un entorno ⇒ $P_0$ es un punto silla.
Si $d^2z(P_0) = 0$ ⇒ no se puede decidir por este criterio.

La diferencial segunda es:

$$d^2z = z_{xx}\,h^2 + 2z_{xy}\,hk + z_{yy}\,k^2$$

Donde $h = \Delta x$, $k = \Delta y$. Se trata de una forma cuadrática en las variables $h$ y $k$, cuyo signo se analiza completando cuadrados o usando el discriminante.

Ejemplo completo

Calcular y discernir los puntos estacionarios de $z = 6xy - x^2y - xy^2$.

Paso 1: Encontrar los puntos estacionarios.

$$\begin{cases} z_x = 6y - 2xy - y^2 = 0 \\ z_y = 6x - x^2 - 2xy = 0 \end{cases}$$

Las soluciones son: $P_0(0,0),\; P_1(6,0),\; P_2(0,6),\; P_3(2,2)$.

Paso 2: Analizar el signo de la diferencial segunda en cada punto.

$$d^2z = z_{xx}\,h^2 + 2z_{xy}\,hk + z_{yy}\,k^2$$

Donde $z_{xx} = -2y$, $z_{xy} = 6 - 2x - 2y$, $z_{yy} = -2x$.

$P_0(0,0)$: $d^2z = 12hk$. Cambia de signo ⇒ punto silla.
$P_1(6,0)$: $d^2z = -12hk - 12k^2 = -12(hk + k^2)$. Cambia de signo ⇒ punto silla.
$P_2(0,6)$: Análisis análogo ⇒ punto silla.
$P_3(2,2)$: $d^2z = -4h^2 - 4hk - 4k^2 = -4\!\left[(h + \tfrac{1}{2}k)^2 + \tfrac{3}{4}k^2\right] \leq 0$ ⇒ máximo.

Paso 3: El valor máximo es $z_3 = f(2,2) = 8$.

Superficie z = 6xy − x²y − xy²: máximo en (2,2)

Arrastra para rotar

4. Extremos Condicionados

El desarrollo precedente se refiere a los puntos estacionarios libres de una función dada, sin otra condición. Pero en la realidad se presentan numerosos problemas en los que es preciso extremar una función sometida a ciertas condiciones (restricciones o enlaces).

Se proponen los siguientes casos:

$$[1]\; \begin{cases} z = f(x,y) \\ \phi(x,y) = 0 \end{cases} \qquad [2]\; \begin{cases} w = f(x,y,z) \\ \phi(x,y,z) = 0 \end{cases} \qquad [3]\; \begin{cases} w = f(x,y,z) \\ \phi_1(x,y,z) = 0 \\ \phi_2(x,y,z) = 0 \end{cases}$$

Interpretación geométrica

El caso [1] se interpreta como encontrar el extremo de una superficie $z = f(x,y)$ restringido a una curva $\phi(x,y) = 0$ del plano. Por ejemplo, calcular la altura máxima de una cúpula sobre una curva del piso.

El caso [2] puede modelar, por ejemplo, la distancia mínima de un punto fijo a una superficie $\phi(x,y,z) = 0$.

Dos métodos de resolución

Método 1: Sustitución directa. Si resulta cómodo despejar una variable en la condición, se sustituye en la función a extremar y se calculan los extremos libres de la función resultante (con menos variables).

Método 2: Multiplicadores de Lagrange. Las condiciones no se introducen en la función a extremar, sino que se forma la función auxiliar de Lagrange:

Función de Lagrange

Se construye la función auxiliar incorporando las restricciones con multiplicadores:

$$\boxed{F(x,y) = f(x,y) + \lambda\,\phi(x,y)}$$

Para el caso [1]. Para el caso [2]: $F(x,y,z) = f(x,y,z) + \lambda\,\phi(x,y,z)$.

$$F(x,y,z) = f(x,y,z) + \lambda_1\,\phi_1(x,y,z) + \lambda_2\,\phi_2(x,y,z)$$

Para el caso [3], con dos condiciones y dos multiplicadores $\lambda_1, \lambda_2$.

Procedimiento del método de Lagrange

Identificar la función a extremar y la(s) condición(es) de enlace.
Formar la función de Lagrange: $F = f + \lambda\,\phi$.
Calcular los puntos estacionarios libres de $F$, resolviendo el sistema formado por las componentes de su gradiente igualadas a cero, más la(s) condición(es) auxiliar(es).
Analizar el signo de la diferencial segunda de $F$, restringiendo los incrementos según las condiciones dadas.

Clasificación de extremos condicionados

Para un punto estacionario dado, con los correspondientes valores de los multiplicadores de Lagrange y las limitaciones de los enlaces:

Si $d^2F \geq 0$ (condicionado) ⇒ mínimo condicionado de $f$.
Si $d^2F \leq 0$ (condicionado) ⇒ máximo condicionado de $f$.

Ejemplo 1: Distancia mínima al plano

Calcular la distancia mínima del origen de coordenadas al plano $x + y + z - 3 = 0$.

Función a extremar: $w = x^2 + y^2 + z^2$ (cuadrado de la distancia).

Condición de enlace: $\phi(x,y,z) = x + y + z - 3 = 0$.

$$F(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 + \lambda(x + y + z - 3)$$

Sistema de ecuaciones:

$$\begin{cases} F_x = 2x + \lambda = 0 \\ F_y = 2y + \lambda = 0 \\ F_z = 2z + \lambda = 0 \\ x + y + z - 3 = 0 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad x = y = z = 1, \;\; \lambda = -2$$

La diferencial segunda es $d^2F = 2(dx^2 + dy^2 + dz^2) > 0$, siempre positiva, por lo que $P_0(1,1,1)$ proporciona un mínimo condicionado.

$$\boxed{d_{\min} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}}$$

Ejemplo 2: Producto extremo en la circunferencia unitaria

Hallar los puntos de la circunferencia $x^2 + y^2 = 1$ que hagan máximo o mínimo el producto $z = xy$.

$$F(x,y) = xy + \lambda(x^2 + y^2 - 1)$$

Resolviendo el sistema $y + 2\lambda x = 0$, $x + 2\lambda y = 0$, $x^2 + y^2 = 1$, se obtienen cuatro puntos estacionarios:

$$P_1 = \left(\tfrac{1}{\sqrt{2}}, \tfrac{1}{\sqrt{2}}\right),\; \lambda = -\tfrac{1}{2} \qquad P_2 = \left(\tfrac{1}{\sqrt{2}}, -\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right),\; \lambda = \tfrac{1}{2}$$

$$P_3 = \left(-\tfrac{1}{\sqrt{2}}, \tfrac{1}{\sqrt{2}}\right),\; \lambda = \tfrac{1}{2} \qquad P_4 = \left(-\tfrac{1}{\sqrt{2}}, -\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right),\; \lambda = -\tfrac{1}{2}$$

Analizando la diferencial segunda $d^2F = 2\lambda\,dx^2 + 2\,dx\,dy + 2\lambda\,dy^2$ condicionada a $2x\,dx + 2y\,dy = 0$:

$P_1$ y $P_4$ ($\lambda = -1/2$): $d^2F < 0$ ⇒ máximos condicionados con $z = 1/2$.
$P_2$ y $P_3$ ($\lambda = 1/2$): $d^2F > 0$ ⇒ mínimos condicionados con $z = -1/2$.

Resumen de la Unidad

Punto estacionario: $\vec{\nabla} f(P_0) = \vec{0} \iff f_x = 0,\; f_y = 0$
Clasificación: se analiza el signo de $d^2z = z_{xx}h^2 + 2z_{xy}hk + z_{yy}k^2$
Máximo: $d^2z \leq 0$ en un entorno — Mínimo: $d^2z \geq 0$ en un entorno
Punto silla: $d^2z$ cambia de signo en el entorno
Extremos condicionados: se resuelven por sustitución o por multiplicadores de Lagrange
Función de Lagrange: $F = f + \lambda\,\phi$ — se buscan los estacionarios libres de $F$
Clasificación condicionada: $d^2F \geq 0$ ⇒ mínimo; $d^2F \leq 0$ ⇒ máximo (restringiendo incrementos según la condición)

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Puntos Estacionarios, Máximos y Mínimos

1. Modelado Matemático y Desarrollo

Idea Clave

2. Puntos Estacionarios de \(z = f(x, y)\)

Tipos de puntos estacionarios

3. ¿Cómo Determinar los Extremos de \(z = f(x, y)\)?

Paso I: Cálculo de los puntos estacionarios

Paso II: Análisis y discernimiento de los puntos estacionarios

Ejemplo completo

4. Extremos Condicionados

Dos métodos de resolución

Procedimiento del método de Lagrange

Ejemplo 1: Distancia mínima al plano

Ejemplo 2: Producto extremo en la circunferencia unitaria

Resumen de la Unidad