Campos Escalares y Vectoriales Continuos
Cálculo II - Ingeniería | UNSJ
1. Campos Escalares
Idea Clave
En Cálculo I se estudiaron funciones de una sola variable. Sin embargo, la mayoría de las cantidades físicas dependen de más de una variable. En esta unidad describimos funciones de varias variables (campos escalares y vectoriales), sus representaciones gráficas y el concepto de continuidad.
Un campo escalar es una función que asigna un número real a cada punto de un dominio en \(\mathbb{R}^n\). Veamos algunos ejemplos concretos:
- Volumen de un cilindro: \(V(r, h) = \pi r^2 h\) — depende del radio \(r\) y la altura \(h\)
- Densidad de un material: \(\rho(m, V) = \frac{m}{V}\) — depende de la masa \(m\) y el volumen \(V\)
- Temperatura superficial: \(T(x, y)\) — depende de la latitud \(x\) y la longitud \(y\)
- Altura de una cúpula: \(z = f(x, y)\) — a cada punto del piso le corresponde una altura
- Volumen de un paralelepípedo: \(V(x, y, z) = xyz\) — depende de tres variables
En todos estos casos, a cada par (o terna) de valores adecuados del dominio \(D\), le corresponde un único valor escalar real.
Campo Escalar
Un campo escalar es una función \(f\) que asigna a cada punto \(\vec{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n) \in D \subset \mathbb{R}^n\) un valor escalar \(w \in \mathbb{R}\):
Es decir, un campo escalar es una función cuyo dominio es un subconjunto de \(\mathbb{R}^n\) y cuya imagen es un subconjunto de \(\mathbb{R}\).
En la definición anterior, \(w\) es la variable dependiente (salida) y \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) son las variables independientes (entrada).
1.1 Funciones de dos variables
El caso más frecuente es el de funciones de dos variables \(z = f(x, y)\). Para cada par \((x, y) \in D \subseteq \mathbb{R}^2\), le corresponde un valor real \(z\):
1.2 Funciones de tres variables
De forma análoga, una función de tres variables asigna un valor escalar \(w\) a cada terna \((x, y, z)\):
Ejemplo: \(V(x, y, z) = xyz\) (volumen de un paralelepípedo)
2. Gráfica de Funciones de Dos Variables
Gráfica de z = f(x, y)
La gráfica de una función \(z = f(x, y)\) es la representación en el espacio \(\mathbb{R}^3\) de todas las ternas \((x, y, z)\) en las cuales \(z = f(x, y)\). Esta gráfica es una superficie en el espacio.
Cada punto del dominio \(D\) en el plano \(xy\) se eleva hasta la altura \(z = f(x, y)\), generando una superficie tridimensional.
Ejemplo 1: \(z = \ln(x^2 + y^2 - 4)\)
El dominio es el conjunto de puntos que cumplen \(x^2 + y^2 > 4\), es decir, todos los puntos exteriores al círculo de radio 2 centrado en el origen.
La superficie tiene forma de embudo que se eleva hacia el infinito a medida que nos alejamos del origen, y desciende hacia \(-\infty\) al acercarnos al círculo \(x^2 + y^2 = 4\).
Ejemplo 2: \(z = \sqrt{8 - 4y + 2x}\)
Está definida sobre los puntos del dominio que cumplen \(8 - 4y + 2x \geq 0\), o lo que es lo mismo, \(2 + \frac{x}{2} \geq y\). El dominio es un semiplano.
Superficies 3D interactivas
Veamos la representación tridimensional de algunas funciones de dos variables. El paraboloide elíptico \(z = x^2 + y^2\) es una de las superficies más fundamentales:
z = x² + y² (paraboloide elíptico)
Arrastra para rotar
Y el paraboloide hiperbólico (o silla de montar) \(z = x^2 - y^2\):
z = x² - y² (paraboloide hiperbólico)
Arrastra para rotar
3. Curvas de Nivel. Conjuntos de Nivel
Otra forma de representar funciones de dos variables es mediante sus curvas de nivel. Estas curvas son líneas sobre las cuales la función tiene un valor constante — por ejemplo, la temperatura, el potencial, o cualquier función es constante. Se originan así las isotermas, curvas equipotenciales o, en general, curvas de nivel.
Curva de Nivel
Es el conjunto de puntos del dominio de una función \(z = f(x, y)\) donde ésta tiene un valor constante. Es decir, los puntos del plano para los que \(f(x, y) = k\) forman una curva de nivel.
El conjunto de las curvas de nivel constituye el mapa de contorno de una superficie. Es la misma idea que usan los mapas topográficos para representar la altitud del terreno.
Imagina un mapa topográfico: cada línea conecta puntos a la misma altitud. Si las curvas están muy juntas, el terreno es empinado; si están separadas, es más llano. Lo mismo ocurre con las curvas de nivel de cualquier función.
Ejemplo 1: \(z = x^2 + y^2\)
Las curvas de nivel se obtienen haciendo \(x^2 + y^2 = k\). Para \(k > 0\), son circunferencias centradas en el origen de radio \(\sqrt{k}\).
Ejemplo 2: \(z = x^2 - y^2\)
Las curvas de nivel \(x^2 - y^2 = k\) son hipérbolas. Para \(k = 0\), las asíntotas \(y = \pm x\).
Ejemplo 3: Potencial electrostático
El potencial electrostático en un punto \((x, y)\) debido a una carga unitaria en el origen es:
Las curvas equipotenciales se obtienen haciendo \(V = k\), es decir \(x^2 + y^2 = \frac{1}{k^2}\): son circunferencias de radio \(\frac{1}{k}\).
Del análisis se puede decir que las curvas equipotenciales son circunferencias centradas en el origen y el potencial crece a medida que nos acercamos a la carga en el origen.
Conjuntos de nivel para funciones de tres variables
Si se trata de funciones de tres variables \(w = f(x, y, z)\), éstas no se pueden graficar completamente, porque necesitaríamos cuatro dimensiones. Sin embargo, se pueden visualizar en el dominio \(D \subset \mathbb{R}^3\) los conjuntos de nivel, o sea las superficies \(f(x, y, z) = k\), a cuyos puntos corresponde el mismo valor constante \(k\).
Las superficies de nivel se obtienen como \(\sqrt{x+y+z} = k\), entonces \(x + y + z = k^2\) es una familia de planos.
- Para \(k = 2\): \(x + y + z = 4\)
- Para \(k = 2.5\): \(x + y + z = 6.25\)
- Para \(k = 3\): \(x + y + z = 9\)
Cada superficie de nivel es un plano en \(\mathbb{R}^3\).
4. Campos Vectoriales
Algunos ejemplos de campos vectoriales los vemos diariamente:
- Campo gravitatorio terrestre: a cada punto \((x, y, z)\) del espacio que rodea a la Tierra, se le asigna un vector fuerza \(\vec{F}(x, y, z)\) debida a la ley de gravitación.
- Campo de velocidades de viento: a cada punto \((x, y)\) de la superficie terrestre, el viento tiene una velocidad \(\vec{V}(x, y)\).
- Campo de velocidades de un fluido: en cada punto de la superficie de un canal, el agua adopta una velocidad \(\vec{V}(x, y)\).
Campo Vectorial
Un campo vectorial es una función \(\vec{f}\) que asigna a cada punto \(\vec{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n) \in D \subset \mathbb{R}^n\) un vector \(\vec{w} \in \mathbb{R}^m\):
El vector \(\vec{w}\) tiene \(m\) componentes \(\vec{w} = (w_1, w_2, \ldots, w_m)\), cada una de las cuales es un campo escalar.
Esto quiere decir que el campo vectorial puede expresarse mediante \(m\) campos escalares de \(n\) variables:
Donde \(w_i = f_i(x_1, x_2, \ldots, x_n)\) para \(i = 1, 2, \ldots, m\)
Ejemplo: Campo gravitatorio terrestre
El campo gravitatorio terrestre está dado por:
Si \(\vec{r} = x\hat{e}_1 + y\hat{e}_2 + z\hat{e}_3\) es el vector posición de un punto arbitrario del espacio y \(r = \|\vec{r}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\) es la distancia al centro, haciendo \(k = GMm\), el campo gravitatorio resulta:
Las tres componentes son:
Cada componente del campo vectorial \(\vec{F}\) es a su vez un campo escalar de las tres variables \((x, y, z)\).
Un campo vectorial en \(\mathbb{R}^2\) se escribe como \(\vec{F}(x,y) = F_1(x,y)\hat{e}_1 + F_2(x,y)\hat{e}_2\). En \(\mathbb{R}^3\) tiene tres componentes. Cada componente es un campo escalar.
5. Gráfica de Campos Vectoriales con Dominio en R²
La representación gráfica de un campo vectorial se puede hacer mediante las líneas de corriente, que son las curvas en cada uno de cuyos puntos el vector imagen es tangente a las mismas.
Líneas de Corriente
Las líneas de corriente de un campo vectorial son curvas tales que en cada punto, el vector del campo es tangente a la curva. Son más o menos densas en las distintas partes del dominio según la intensidad del vector imagen.
Ejemplo: \(\vec{F}(x, y) = x\,\hat{e}_1 + 3\,\hat{e}_2\)
En este campo, la componente horizontal crece con \(x\) mientras la componente vertical es constante e igual a 3.
Ejemplo: Campo radial \(\vec{F}(x, y) = x\,\hat{e}_1 + y\,\hat{e}_2\)
Este es un campo radial donde cada vector apunta hacia afuera desde el origen, con magnitud creciente.
Ejemplo: Campo rotacional \(\vec{F}(x, y) = -y\,\hat{e}_1 + x\,\hat{e}_2\)
Los vectores rotan alrededor del origen. Las líneas de corriente son circunferencias centradas en el origen.
Ejemplo: Campo constante \(\vec{F}(x, y) = \hat{e}_1 + 2\,\hat{e}_2\)
Un campo vectorial constante: todos los vectores son iguales en dirección y magnitud.
6. Continuidad de Funciones Escalares y Vectoriales
Continuidad de un campo escalar
La función escalar \(f\) es continua en el punto \((x_0, y_0)\) si y solo si:
Intuitivamente, para valores cercanos a \((x_0, y_0)\), los valores de las imágenes \(f(x, y)\) están próximos a \(f(x_0, y_0)\).
Interpretación geométrica
Función continua: \(z = x^2\)
A pequeñas modificaciones de las variables \(x\) e \(y\), corresponden variaciones pequeñas en los resultados de la variable \(z\). La superficie no tiene "saltos".
Función discontinua: \(z = \frac{x}{x^2 + y^2}\)
A pequeñas variaciones en algunos valores de \(x\) e \(y\) cercanos a \((0,0)\), corresponden grandes variaciones en \(z\). La función tiene una discontinuidad en el origen.
z = x² (función continua)
Arrastra para rotar
- La suma y el producto de dos funciones continuas es continua.
- El cociente de dos funciones continuas es continuo en el dominio donde el denominador no se anula.
- La composición de funciones continuas es una función continua.
Continuidad de campos vectoriales
El campo vectorial \(\vec{F}(x,y,z) = f_1(x,y,z)\hat{e}_1 + f_2(x,y,z)\hat{e}_2 + f_3(x,y,z)\hat{e}_3\) es continuo en un punto \(\vec{x}_0\) si todos los campos escalares \(f_i\) que lo definen son continuos en \(\vec{x}_0\).
De ahora en adelante nos referiremos a campos escalares o vectoriales continuos.
Resumen de la Unidad
- Campo escalar: \(f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) — asigna un número a cada punto
- Gráfica: representación como superficie en \(\mathbb{R}^3\) para funciones de dos variables
- Curvas de nivel: \(f(x,y) = k\) — líneas de valor constante (mapa de contorno)
- Campo vectorial: \(\vec{f}: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) — asigna un vector a cada punto
- Líneas de corriente: curvas tangentes al campo vectorial en cada punto
- Continuidad: el límite en cada punto coincide con el valor de la función