📚
Cálculo II

Variación de Campos Escalares Continuos: Derivadas y Gradiente

Cálculo II - Ingeniería | UNSJ

1. Modelado Matemático y Desarrollo

Idea Clave

En esta unidad se aborda el concepto de variación de un campo escalar. Por ejemplo, la variación de temperatura en diferentes puntos de una lámina metálica sometida a una fuente de calor. Nos preguntamos: ¿en qué dirección, desde un punto dado, se produce la mayor variación? Para responder, introducimos las derivadas parciales, la derivada direccional y el vector gradiente.

Dado un campo escalar \(z = f(x, y)\), continuo en un conjunto \(D\) abierto y conexo, el valor \(z\) va variando de forma continua al pasar de un punto del dominio a otro cercano. Interesa medir de alguna manera el grado de esa variación. Esto se hace mediante la derivada, que es la variación elemental del campo obtenida cuando la distancia entre los dos puntos tiende a cero.

Infinitas direcciones, infinitas derivadas

Para la función \(z = f(x, y)\), el punto dado por sus dos coordenadas puede moverse en infinitas direcciones a partir de un punto fijo. Correspondientemente, se definen infinitas derivadas, ya que el grado de variación del campo será distinto en cada dirección.

El caso particular es el de las derivadas parciales, cuando las direcciones elegidas son las de los ejes coordenados.

En Cálculo I se definió la derivada de una función \(y = f(x)\) en \(x = x_0\) como:

$$\frac{df}{dx}\bigg|_{x_0} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$

En forma similar se definirá la derivada parcial.

2. Derivadas Parciales

La superficie \(z = f(x, y)\) se corta por el plano \(y = y_0\) para obtener sobre la superficie la curva \(z = f(x, y_0)\).

Superficie z = x² + y² cortada por plano y = y₀

Arrastra para rotar

Sea el punto \(P_0(x_0, y_0)\) un punto del dominio de la función \(z = f(x, y)\).

Derivada parcial respecto de x

La derivada parcial de \(f\) respecto de \(x\) en \(P_0\) se define como:

$$\frac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{P_0} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta z}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x,\, y_0) - f(x_0,\, y_0)}{\Delta x}$$

Observar que en esta definición, se considera constante a \(y\). La variable \(y\) no cambia, o sea que para el cálculo de esta derivada parcial se emplearán las reglas de diferenciación de Cálculo I manteniendo \(y\) como una constante.

Significado de la derivada parcial

La derivada parcial de \(f\) respecto de \(x\) mide el grado de variación o tasa de variación de la función \(f\) a partir del punto \(P_0(x_0, y_0)\) en la dirección del eje \(x\).

Interpretación geométrica: La derivada parcial de \(f\) respecto de \(x\) en \(P_0(x_0, y_0)\) es la pendiente de la recta tangente a la curva \(z = f(x, y_0)\) en el punto \(Q_0(x_0, y_0, z_0)\) de la superficie.

Derivada parcial respecto de y

De igual forma se define la derivada parcial de \(f\) respecto de \(y\) en \(P_0\):

$$\frac{\partial f}{\partial y}\bigg|_{P_0} = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(x_0,\, y_0 + \Delta y) - f(x_0,\, y_0)}{\Delta y}$$

Aquí se mantiene \(x\) constante y se varía solo \(y\).

Observación: Cada derivada parcial coincide con la derivada total de una función de una variable, considerada la otra como constante. Por ello, el cálculo de las derivadas parciales y las propiedades de las funciones derivadas son las mismas que para funciones de una variable.

Otras notaciones para las derivadas parciales:

$$z_x\big|_{P_0} = f_x\big|_{P_0} = D_x f\big|_{P_0} \qquad z_y\big|_{P_0} = f_y\big|_{P_0} = D_y f\big|_{P_0}$$

Cuando \(P_0\) es un punto genérico del dominio \(D\), la función derivada dependerá de las dos variables: \(z_x = f_x(x, y)\).

Ejemplo: Derivadas parciales de \(z = x^2 + y^2\)

Calculemos las derivadas parciales del paraboloide:

$$f_x = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + y^2) = 2x \qquad f_y = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 + y^2) = 2y$$

En el punto \(P_0(1, 2)\): \(f_x(1,2) = 2\) y \(f_y(1,2) = 4\). La función varía más rápido en la dirección \(y\) en este punto.

3. Derivadas Sucesivas

Dada \(z = f(x, y)\) continua, sus derivadas parciales \(z_x = f_x(x, y)\), \(z_y = f_y(x, y)\) son funciones de \(x\) e \(y\). Si éstas son continuas y a su vez derivables, se pueden hallar las derivadas sucesivas de la función \(z = f(x, y)\).

Derivadas parciales de segundo orden

Existen cuatro derivadas parciales segundas:

$$z_{xx} = (z_x)_x = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right) \qquad z_{yy} = (z_y)_y = \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)$$

Estas son las derivadas segundas puras (se deriva dos veces respecto de la misma variable).

Derivadas parciales mixtas

$$z_{xy} = (z_x)_y = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right) \qquad z_{yx} = (z_y)_x = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)$$

Se deriva primero respecto de una variable y luego respecto de la otra.

Teorema de Schwarz (igualdad de derivadas mixtas)

Si \(z_x\), \(z_y\), \(z_{xy}\), \(z_{yx}\) son funciones continuas en un entorno, entonces en dicho entorno se verifica:

$$z_{xy} = z_{yx}$$

Es decir, las derivadas segundas cruzadas son iguales. Esto ocurre con todas las funciones de dos variables que aparecerán en el curso.

Ejemplo: Derivadas de segundo orden de \(z = x^2 y + 3xy^3\)

$$f_x = 2xy + 3y^3 \qquad f_y = x^2 + 9xy^2$$
$$f_{xx} = 2y \qquad f_{yy} = 18xy \qquad f_{xy} = 2x + 9y^2 \qquad f_{yx} = 2x + 9y^2$$

Se verifica que \(f_{xy} = f_{yx} = 2x + 9y^2\).

El proceso de derivación puede seguir más veces, quizás hasta el infinito, para las llamadas funciones analíticas. Todo lo señalado para funciones de dos variables se puede extender a funciones de tres o más variables.

4. Vector Gradiente

Vector Gradiente

Se llama gradiente de \(z = f(x, y)\) en \(P_0 = (x_0, y_0)\) al vector del dominio, ubicado en \(P_0\):

$$\vec{\nabla} f(x_0,\, y_0) = f_x(x_0,\, y_0)\,\hat{e}_1 + f_y(x_0,\, y_0)\,\hat{e}_2$$

El gradiente es un vector cuyas componentes son las derivadas parciales evaluadas en el punto. Se denota \(\vec{\nabla} f\) o \(\text{grad}\, f\).

Ejemplo: Gradiente de \(z = x^2 + y^2\)

$$\vec{\nabla} f(x, y) = 2x\,\hat{e}_1 + 2y\,\hat{e}_2$$

En \(P_0(1, 2)\): \(\vec{\nabla} f(1, 2) = 2\hat{e}_1 + 4\hat{e}_2 = (2, 4)\)

Veamos el campo gradiente de \(z = x^2 + y^2\). Observa cómo los vectores apuntan hacia afuera (la función crece al alejarse del origen) y son perpendiculares a las curvas de nivel (circunferencias):

El gradiente en cada punto es perpendicular a la curva de nivel que pasa por ese punto, y apunta en la dirección de máximo crecimiento de la función.

5. Derivada Direccional

Sea la función \(z = f(x, y)\) en el punto \(P_0 = (x_0, y_0)\). Consideremos el versor \(\hat{n}\) que indica la dirección del punto \(P_0\) al punto \(P\).

El versor \(\hat{n}\) y la distancia \(\rho\) se expresan como:

$$\hat{n} = (\cos\alpha,\, \text{sen}\,\alpha) = \left(\frac{\Delta x}{\rho},\, \frac{\Delta y}{\rho}\right) \qquad \rho = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$$

Consideramos un plano que tiene la orientación del versor \(\hat{n}\); éste plano determina como intersección con la superficie \(z = f(x, y)\) una curva, y sobre ella podemos analizar la variación elemental en \(P_0\). La pendiente de la recta tangente a la curva intersección es la derivada direccional.

Derivada Direccional

La derivada direccional de \(f\) en \(P_0\), según la dirección de \(\hat{n}\), mide la tasa de variación de la función en \(P_0\) en la dirección del versor \(\hat{n}\):

$$D_{\hat{n}} f\big|_{P_0} = \lim_{\rho \to 0} \frac{\Delta z}{\rho} = \lim_{\rho \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x,\, y_0 + \Delta y) - f(x_0,\, y_0)}{\rho}$$
Las derivadas parciales son casos particulares

Según esta definición, \(f_x\) y \(f_y\) son las derivadas direccionales según \(\hat{e}_1\) y \(\hat{e}_2\) respectivamente:

$$D_{\hat{e}_1} f\big|_{P_0} = f_x(P_0) \qquad D_{\hat{e}_2} f\big|_{P_0} = f_y(P_0)$$

6. Cálculo de la Derivada Direccional

Si suponemos que \(f_x\) y \(f_y\) existen en \(P_0\) y son continuas en un entorno del mismo, podemos desarrollar el cálculo del límite:

$$D_{\hat{n}} f\big|_{P_0} = \lim_{\rho \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x,\, y_0 + \Delta y) - f(x_0,\, y_0)}{\rho}$$

Sumando y restando \(f(x_0, y_0 + \Delta y)\), separando en dos límites y aplicando el Teorema de Lagrange (del valor medio), se obtiene:

$$D_{\hat{n}} f\big|_{P_0} = \lim_{\rho \to 0} f_x(x_0 + \theta_1 \Delta x,\, y_0 + \Delta y) \frac{\Delta x}{\rho} + \lim_{\rho \to 0} f_y(x_0,\, y_0 + \theta_2 \Delta y) \frac{\Delta y}{\rho}$$

Con \(0 < \theta_1 < 1\), \(0 < \theta_2 < 1\)

Cuando \(\rho \to 0\) ocurre que \(\Delta x \to 0\) y \(\Delta y \to 0\), y como \(f_x\), \(f_y\) existen en \(P_0\) y son continuas en un entorno de este punto, resulta:

$$\boxed{D_{\hat{n}} f\big|_{P_0} = f_x(x_0,\, y_0)\cos\alpha + f_y(x_0,\, y_0)\,\text{sen}\,\alpha}$$

Para hallar la derivada en \(P_0\) según la dirección \(\hat{n}\), hay que conocer las derivadas parciales en \(P_0\) y las componentes de la dirección \(\hat{n}\).

Relación con el gradiente

La expresión anterior se puede escribir como un producto escalar:

$$\boxed{D_{\hat{n}} f\big|_{P_0} = \vec{\nabla} f\big|_{P_0} \cdot \hat{n}}$$

O bien:

$$D_{\hat{n}} f(P_0) = \vec{\nabla} f(P_0) \cdot \hat{n} = \|\vec{\nabla} f(P_0)\| \cos\varphi$$

Siendo \(\varphi\) el ángulo que forma el vector gradiente con el versor direccional \(\hat{n}\).

7. Propiedades de la Derivada Direccional y del Gradiente

Del desarrollo anterior se deducen las siguientes propiedades fundamentales:

Propiedades clave
  • La derivada direccional según \(\hat{n}\) es la proyección del gradiente en esa dirección.
  • La derivada parcial será la proyección del gradiente según \(\hat{e}_1\) o según \(\hat{e}_2\): $$D_{\hat{e}_1} f\big|_{P_0} = f_x(P_0) \qquad D_{\hat{e}_2} f\big|_{P_0} = f_y(P_0)$$
  • La derivada direccional es máxima en valor absoluto en la dirección del gradiente y vale el módulo del gradiente.
  • La derivada direccional es mínima en valor absoluto y vale cero según la perpendicular al gradiente.
  • El vector gradiente es perpendicular a la curva de nivel en \(P_0\) y tiene el sentido de las cotas crecientes.
$$D_{\hat{n}} f(P_0) = \|\vec{\nabla} f(P_0)\| \cos\varphi$$

Cuando \(\varphi = 0\) (misma dirección que el gradiente): \(D_{\hat{n}} f = \|\vec{\nabla} f\|\) → máxima variación

Cuando \(\varphi = \pi/2\) (perpendicular al gradiente): \(D_{\hat{n}} f = 0\) → sin variación

Cuando \(\varphi = \pi\) (dirección opuesta al gradiente): \(D_{\hat{n}} f = -\|\vec{\nabla} f\|\) → máximo decrecimiento

Gradiente perpendicular a las curvas de nivel

En la siguiente gráfica se muestra la superficie \(z = x^2 + y^2\) cortada por planos horizontales \(z = k\). Cada plano de corte genera una curva de nivel (un círculo de radio \(\sqrt{k}\)). El gradiente en cada punto es perpendicular a estas curvas y apunta hacia donde la función crece:

z = x² + y² — planos de corte z = 1, 2, 3 generan curvas de nivel

Arrastra para rotar

Las curvas de intersección (círculos de colores) son las curvas de nivel. Debajo, la misma idea vista desde arriba: los vectores gradiente \(\vec{\nabla} f = (2x, 2y)\) son siempre perpendiculares a las curvas de nivel:

Ejemplo: Gradiente y derivada direccional de \(z = 4 - (x^2 + y^2)\)

El gradiente es \(\vec{\nabla} f = (-2x, -2y)\). En \(P(1, 1)\): \(\vec{\nabla} f(1,1) = (-2, -2)\).

El gradiente apunta hacia el centro (donde la función crece) y es perpendicular a las curvas de nivel circulares.

8. Derivación de Funciones Compuestas: Regla de la Cadena

Entre las funciones de una variable independiente, puede ocurrir que ésta sea a su vez función de otra variable; es el caso de función de función o de función compuesta.

Por ejemplo, en la función \(z = f(x)\), si \(x = g(u)\), se tiene \(z = f[g(u)] = h(u)\). Para calcular la derivada de \(z\) respecto de \(u\), se aplica la regla de la cadena:

$$\frac{dz}{du} = \frac{dz}{dx} \cdot \frac{dx}{du}$$

Caso 1: \(z = f(x, y)\) con \(x = X(t)\), \(y = Y(t)\)

Regla de la cadena (una variable independiente)

Sea \(z = f(x, y)\) una función con derivadas parciales \(f_x\) y \(f_y\) continuas. Si \(x = X(t)\), \(y = Y(t)\) son funciones diferenciables para todo \(t\), entonces la función compuesta \(z = f(X(t), Y(t))\) es diferenciable y:

$$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dt}$$

Ejemplo: Presión de un gas ideal

La presión \(P\) en kilopascales, el volumen \(V\) en litros y la temperatura \(T\) en grados Kelvin están relacionadas mediante \(PV = 8.31\,T\).

La presión de un mol de gas ideal se incrementa a razón de \(0.05\,\text{kPa/s}\) y la temperatura aumenta a razón de \(0.15\,\text{K/s}\). Halle la razón de cambio del volumen cuando \(P = 20\,\text{kPa}\) y \(T = 320\,\text{K}\).

$$V = 8.31\frac{T}{P}$$
$$\frac{dV}{dt} = 8.31\frac{1}{P}\frac{dT}{dt} - 8.31\frac{T}{P^2}\frac{dP}{dt} = 8.31\left(\frac{0.15}{20} - \frac{320}{20^2}\cdot 0.05\right) = -0.27\;\frac{L}{s}$$

El volumen está disminuyendo a razón de \(0.27\) litros por segundo.

Caso 2: \(z = f(x, y)\) con \(x = X(u, v)\), \(y = Y(u, v)\)

En general, si \(x\) e \(y\) dependen de dos variables \(u\) y \(v\), de la aplicación de la regla de la cadena resulta:

$$\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial u}$$
$$\frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial v}$$

Es útil usar un diagrama de árbol para visualizar las dependencias entre variables y no confundir las derivadas parciales con las totales. Cada camino del árbol contribuye un sumando a la regla de la cadena.

9. El Problema de las Funciones Implícitas

Si \(F(x, y)\) posee derivadas parciales continuas y si la expresión \(F(x, y) = 0\) define a \(y\) como función de \(x\), aunque sea difícil encontrar la expresión analítica de \(y = Y(x)\), se puede hallar el valor de la derivada de esta función.

Aplicando la regla de la cadena a la igualdad \(F(x, y) = 0\), considerando que \(x = x\) y \(y = Y(x)\):

$$\frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y}\frac{dy}{dx} = 0$$

De donde, si \(F_y \neq 0\):

$$\boxed{\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}}$$

Esta fórmula permite calcular la derivada de \(y\) respecto de \(x\) sin necesidad de despejar \(y\) explícitamente.

Extensión a tres variables

De igual forma, si \(G(x, y, z) = 0\) define implícitamente \(z = Z(x, y)\), es posible calcular:

$$\frac{\partial Z}{\partial x} = -\frac{G_x}{G_z} \qquad \frac{\partial Z}{\partial y} = -\frac{G_y}{G_z}$$

Siempre que \(G_z \neq 0\).

Ejemplo: \(F(x, y) = x^2 + y^2 - 25 = 0\)

$$F_x = 2x \qquad F_y = 2y \qquad \Rightarrow \quad \frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{2y} = -\frac{x}{y}$$

Se puede verificar que esto coincide con derivar directamente \(y = \sqrt{25 - x^2}\).

10. Vector Gradiente en Tres Dimensiones

Una función \(z = f(x, y)\) puede interpretarse como la función implícita \(F(x, y, z) = f(x, y) - z = 0\), la cual puede interpretarse como una superficie de nivel de \(w = F(x, y, z)\).

Gradiente en R³

El vector gradiente de \(w = F(x, y, z)\) es:

$$\vec{\nabla} F(x, y, z) = \left(F_x,\, F_y,\, F_z\right)$$

Este vector es perpendicular a la superficie de nivel \(F(x, y, z) = c\), o sea, a la gráfica de la función \(z = f(x, y)\).

Demostración geométrica

Si consideramos una curva \(C\) que pasa por un punto \(P = P_0(x_0, y_0, z_0)\) sobre la superficie, de representación paramétrica \(x = x(t)\), \(y = y(t)\), \(z = z(t)\), derivando \(F(x, y, z) = 0\) en forma implícita:

$$F_x(P_0)\, x'(t_0) + F_y(P_0)\, y'(t_0) + F_z(P_0)\, z'(t_0) = 0$$

Esto se puede escribir como:

$$\underbrace{\left(F_x(P_0),\, F_y(P_0),\, F_z(P_0)\right)}_{\vec{\nabla} F(P_0)} \cdot \underbrace{\left(x'(t_0),\, y'(t_0),\, z'(t_0)\right)}_{\vec{r}\,'(t_0)} = 0$$

El gradiente es perpendicular al vector tangente a cualquier curva sobre la superficie que pase por \(P_0\).

Conclusión

El vector \(\vec{\nabla} F(x_0, y_0, z_0) = (F_x(P_0),\, F_y(P_0),\, F_z(P_0))\) es perpendicular a la superficie \(F(x, y, z) = 0\) en el punto \(P_0\). Esto nos proporciona el vector normal a la superficie en ese punto.

Ejemplo: Normal a la esfera \(x^2 + y^2 + z^2 = 14\)

Con \(F(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 - 14\):

$$\vec{\nabla} F = (2x, 2y, 2z)$$

En el punto \(P_0(1, 2, 3)\): \(\vec{\nabla} F(1,2,3) = (2, 4, 6)\), que apunta radialmente hacia afuera, como se espera para una esfera.

Esfera: el gradiente es perpendicular a la superficie (normal)

Arrastra para rotar

Resumen de la Unidad

  • Derivada parcial: \(f_x = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x}\) — variación en dirección de un eje coordenado
  • Derivadas sucesivas: \(f_{xx}\), \(f_{yy}\), \(f_{xy}\), \(f_{yx}\) — con \(f_{xy} = f_{yx}\) (Schwarz)
  • Gradiente: \(\vec{\nabla} f = (f_x, f_y)\) — apunta en dirección de máximo crecimiento
  • Derivada direccional: \(D_{\hat{n}} f = \vec{\nabla} f \cdot \hat{n}\) — variación en dirección arbitraria
  • Propiedades: El gradiente es perpendicular a las curvas/superficies de nivel
  • Regla de la cadena: \(\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}\)
  • Funciones implícitas: \(\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}\)
← Unidad 2: Campos Escalares y Vectoriales Unidad 4: Aproximación y Diferencial →