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Problemas Resueltos — Cinemática

Guía de Problemas N°1 · Física I · UNSJ 2025

Premisa de Trabajo

Secuencia de resolución
  1. Lectura y bosquejo: Leer el enunciado, bosquejar el movimiento.
  2. Datos e incógnitas: Transcribir con notación simbólica.
  3. Conversión de unidades: Verificar SI.
  4. Ecuaciones: Plantear las ecuaciones descriptoras.
  5. Despeje: Aislar la incógnita algebraicamente.
  6. Sustitución y cálculo.
  7. Validación y respuesta.

Problema N°1 — MRU en 2D

Un auto "A" se encuentra en la posición \((3,\,4)\) m en \(t_0=0\). Se desplaza en línea recta alejándose del origen en dirección 30° sobre el eje x durante 1 minuto, con velocidad constante de 20 km/h.

Datos y conversión

$$\vec{r}_0 = (3;\,4)\;\text{m}, \quad v = 20\;\text{km/h} = \frac{20}{3{,}6} = 5{,}556\;\text{m/s}, \quad \Delta t = 1\;\text{min} = 60\;\text{s}, \quad \theta = 30°$$

a) Vector posición inicial y distancia al origen

$$\vec{r}_0 = (3;\,4)\;\text{m}$$
$$|\vec{r}_0| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = \boxed{5\;\text{m}}$$

b) Vector posición final

Componentes de la velocidad:

$$v_x = v\cos 30° = 5{,}556 \times 0{,}866 = 4{,}811\;\text{m/s}$$
$$v_y = v\sin 30° = 5{,}556 \times 0{,}5 = 2{,}778\;\text{m/s}$$

Posición final (MRU en cada eje):

$$x_f = 3 + 4{,}811 \times 60 \approx 291{,}7\;\text{m}$$
$$y_f = 4 + 2{,}778 \times 60 \approx 170{,}7\;\text{m}$$
$$\boxed{\vec{r}_f \approx (291;\;170{,}5)\;\text{m}}$$

c) Vector desplazamiento y distancia recorrida

$$\Delta\vec{r} = \vec{r}_f - \vec{r}_0 = (291-3;\;170{,}5-4) = \boxed{(288;\;166{,}5)\;\text{m}}$$
$$d = v \cdot \Delta t = 5{,}556 \times 60 = \boxed{333{,}3\;\text{m}}$$

Problema N°2 — MRU por tramos en 2D

Un automóvil viaja hacia el Este durante 45 min a 120 km/h. Se detiene 5 min y luego viaja en dirección Noroeste, 60° medidos desde el Norte, recorriendo 150 km en 1 h 15 min.

Tramo 1 — Hacia el Este

$$d_1 = 120 \times \frac{45}{60} = 90\;\text{km} \quad \Rightarrow \quad \Delta\vec{r}_1 = (90;\;0)\;\text{km}$$

Tramo 2 — Detenido 5 min

$$\Delta\vec{r}_2 = (0;\;0)$$

Tramo 3 — Noroeste, 60° desde el Norte

Dirección: 60° desde el Norte hacia el Oeste → componentes:

$$\Delta\vec{r}_3 = 150\,(-\sin 60°;\;\cos 60°) = 150\,(-0{,}866;\;0{,}5) = (-129{,}9;\;75)\;\text{km}$$

a) Distancia recorrida

$$d = 90 + 0 + 150 = \boxed{240\;\text{km}}$$

b) Posición final

$$\vec{r}_f = (90-129{,}9;\;0+75) = \boxed{(-40\,\hat{\imath} + 75\,\hat{\jmath})\;\text{km}}$$

c) Desplazamiento

$$|\Delta\vec{r}| = \sqrt{40^2+75^2} = \sqrt{7225} = \boxed{85\;\text{km}}$$
$$\theta = \arctan\!\left(\frac{75}{-40}\right) \Rightarrow \theta = 180° - 62° = \boxed{118°}\;(\text{desde el eje }+x)$$

d) Velocidad media

$$t_{total} = 45 + 5 + 75 = 125\;\text{min} = 2{,}083\;\text{h}$$
$$|\vec{v}_m| = \frac{85}{2{,}083} = \boxed{40{,}8\;\text{km/h}}$$

Problema N°3 — Tablas y gráficas

a) Persona corriendo — MRU

\(v = 5\;\text{m/s},\; x_0 = 0\;\text{m}\). Complete la tabla y grafique.

Ecuación: \(x = v \cdot t = 5t\)

t (s)x (m)v (m/s)
155
2105
3155
4205

b) Ciclista — MRUV

A partir de la tabla determine el tipo de movimiento.

Patrón: \(x = t^2\). Como \(x = \tfrac{1}{2}at^2\) con \(x_0=0,\; v_0=0\) → \(a = 2\;\text{m/s}^2\). Es MRUV.

$$v = a \cdot t = 2t$$
t (s)x (m)v (m/s)
112
244
396
4168

c) Dos vehículos mismo sentido — MRU

Vehículo A: \(x_0=0,\; v_A=10\;\text{m/s}\). Vehículo B: \(x_0=6\;\text{m},\; v_B=4\;\text{m/s}\).

$$x_A = 10t \qquad x_B = 6 + 4t$$
t (s)x_A (m)v_Ax_B (m)v_B
11010104
22010144
33010184
44010224

d) Dos vehículos sentidos opuestos — Encuentro

A: \(x_0=0,\; v_A=5\;\text{m/s}\). B: \(x_0=60\;\text{m},\; v_B=-10\;\text{m/s}\). ¿Cuándo se encuentran?

$$x_A = 5t \qquad x_B = 60 - 10t$$

Encuentro: \(x_A = x_B\)

$$5t = 60 - 10t \;\Rightarrow\; 15t = 60 \;\Rightarrow\; \boxed{t = 4\;\text{s}}$$

Posición: \(x = 5(4) = 20\;\text{m}\)

t (s)x_A (m)x_B (m)
1550
21040
31530
42020

Problema N°4 — MRUV

Un automóvil recorre 1000 m en 30 s con aceleración constante de 0,4 m/s².

Datos

$$\Delta x = 1000\;\text{m},\quad \Delta t = 30\;\text{s},\quad a = 0{,}4\;\text{m/s}^2$$

a) Velocidad inicial y final

$$x_f = x_0 + v_0 \cdot \Delta t + \tfrac{1}{2}a\,\Delta t^2$$
$$1000 = v_0(30) + \tfrac{1}{2}(0{,}4)(900) = 30\,v_0 + 180$$
$$v_0 = \frac{820}{30} = \boxed{27{,}33\;\text{m/s}}$$
$$v_f = v_0 + a\,\Delta t = 27{,}33 + 0{,}4(30) = \boxed{39{,}33\;\text{m/s}}$$

b) Distancia en los primeros 8 s

$$\Delta x = 27{,}33(8) + \tfrac{1}{2}(0{,}4)(64) = 218{,}64 + 12{,}8 = \boxed{231{,}44\;\text{m}}$$

Problema N°5 — Movimiento por tramos

En \(t=0\) un auto está detenido. Acelera hasta 20 m/s en 8 s; continúa constante durante 60 m; luego frena y se detiene a 180 m del inicio.

Tramo 1 — MRUA (0 → 20 m/s en 8 s)

$$a_1 = \frac{20}{8} = 2{,}5\;\text{m/s}^2 \qquad x_1 = \tfrac{1}{2}(2{,}5)(64) = 80\;\text{m}$$

Tramo 2 — MRU (60 m a 20 m/s)

$$\Delta t_2 = \frac{60}{20} = 3\;\text{s} \qquad x_{\text{acum}} = 80+60 = 140\;\text{m}$$

Tramo 3 — MRUD (180 − 140 = 40 m, de 20 m/s a 0)

$$0 = 20^2 + 2a_3(40) \;\Rightarrow\; a_3 = \frac{-400}{80} = -5\;\text{m/s}^2$$
$$\Delta t_3 = \frac{0-20}{-5} = 4\;\text{s}$$

Problema N°6 — Análisis gráfico v(t)

La gráfica \(v_x(t)\) de un policía en motocicleta muestra tres tramos: MRU (0–5 s, 20 m/s), MRUA (5–9 s, 20→45 m/s), MRUD (9–13 s, 45→0 m/s).

a) Tipos de movimiento

0–5 s: MRU · 5–9 s: MRUA · 9–13 s: MRUD

b) Aceleración instantánea

$$a(3\,\text{s}) = 0\;\text{m/s}^2 \quad (\text{MRU})$$
$$a(7\,\text{s}) = \frac{45-20}{9-5} = \frac{25}{4} = \boxed{6{,}25\;\text{m/s}^2}$$
$$a(11\,\text{s}) = \frac{0-45}{13-9} = \frac{-45}{4} = \boxed{-11{,}25\;\text{m/s}^2}$$

c) Desplazamiento en los primeros 5 s

Área bajo la curva (rectángulo):

$$\Delta x = 20 \times 5 = \boxed{100\;\text{m}}$$

d) Desplazamiento en los primeros 9 s

$$\Delta x = 100 + \frac{(20+45)}{2} \times 4 = 100 + 130 = \boxed{230\;\text{m}}$$

e) Desplazamiento total (13 s)

$$\Delta x = 230 + \frac{(45+0)}{2} \times 4 = 230 + 90 = \boxed{320\;\text{m}}$$

Problema N°7 — De a(t) a v(t) y x(t)

Dada la gráfica \(a(t)\), componer \(v(t)\) y \(x(t)\). Condiciones iniciales: \(x_0=0,\; v_0=0\).

Tramo 1 (0–10 s): a = 2 m/s²

$$v(t) = 2t \;\Rightarrow\; v(10) = 20\;\text{m/s}$$
$$x(t) = t^2 \;\Rightarrow\; x(10) = 100\;\text{m}$$

Tramo 2 (10–20 s): a = 0

$$v = 20\;\text{m/s (cte)} \qquad x(t) = 100 + 20(t-10) \;\Rightarrow\; x(20) = 300\;\text{m}$$

Tramo 3 (20–30 s): a = −2 m/s²

$$v(t) = 20 - 2(t-20) \;\Rightarrow\; v(30) = 0\;\text{m/s}$$
$$x(t) = 300 + 20(t-20) - (t-20)^2 \;\Rightarrow\; x(30) = 400\;\text{m}$$

Tramo 4 (30–40 s): a = 0

$$v = 0 \;\text{m/s} \qquad x = 400\;\text{m (reposo)}$$

Problema N°8 — Caída libre

Desde un balcón a 15 m de altura un niño deja caer un juguete.

Datos

$$y_0 = 15\;\text{m},\quad v_0 = 0,\quad g = 9{,}8\;\text{m/s}^2 \quad (\text{eje } y \text{ positivo hacia arriba})$$

a) Tiempo en llegar al suelo

$$y = y_0 - \tfrac{1}{2}g\,t^2 \quad \Rightarrow \quad 0 = 15 - 4{,}9\,t^2$$
$$t = \sqrt{\frac{15}{4{,}9}} = \sqrt{3{,}061} = \boxed{1{,}75\;\text{s}}$$

b) Rapidez al llegar al suelo

$$v = -g \cdot t = -9{,}8 \times 1{,}75 = \boxed{-17{,}15\;\text{m/s}}$$

(El signo negativo indica sentido hacia abajo.)

Problema N°9 — Cohete

Un cohete sube con a = 19,6 m/s² durante 1 min. Luego se mueve libremente.

Fase 1 — Propulsión (0–60 s)

$$v_1 = 19{,}6 \times 60 = 1176\;\text{m/s}$$
$$y_1 = \tfrac{1}{2}(19{,}6)(3600) = 35\,280\;\text{m}$$

Fase 2 — Vuelo libre ascendente

$$0 = 1176^2 - 2(9{,}8)\,\Delta y_2 \;\Rightarrow\; \Delta y_2 = \frac{1\,382\,976}{19{,}6} = 70\,560\;\text{m}$$
$$y_{\max} = 35\,280 + 70\,560 = \boxed{105\,840\;\text{m}}$$

b) Tiempo total

Tiempo de subida libre:

$$t_2 = \frac{1176}{9{,}8} = 120\;\text{s}$$

Tiempo de caída desde \(y_{\max}\):

$$t_3 = \sqrt{\frac{2 \times 105\,840}{9{,}8}} = \sqrt{21\,600} \approx 147\;\text{s}$$
$$t_{total} = 60 + 120 + 147 = \boxed{327\;\text{s}}$$

Problema N°10 — Globo y objeto

Un globo sube a v = 6 m/s (constante). A 250 m del piso se deja caer un objeto.

Datos del objeto al soltarse

$$y_0 = 250\;\text{m},\quad v_0 = +6\;\text{m/s}\;(\text{hereda velocidad del globo}),\quad a = -9{,}8\;\text{m/s}^2$$

a) Altura máxima

$$v = 0 \;\Rightarrow\; t_{\text{sube}} = \frac{6}{9{,}8} = 0{,}612\;\text{s}$$
$$\Delta y = 6(0{,}612) - \tfrac{1}{2}(9{,}8)(0{,}612^2) = 3{,}673 - 1{,}836 = 1{,}84\;\text{m}$$
$$y_{\max} = 250 + 1{,}84 = \boxed{251{,}84\;\text{m}}$$

b) Velocidad al llegar al piso

Objeto llega al suelo (\(y=0\)):

$$0 = 250 + 6t - 4{,}9t^2 \;\Rightarrow\; 4{,}9t^2 - 6t - 250 = 0$$
$$t = \frac{6 + \sqrt{36 + 4900}}{9{,}8} = \frac{6 + 70{,}26}{9{,}8} = 7{,}78\;\text{s}$$
$$v_f = 6 - 9{,}8(7{,}78) = \boxed{-70{,}25\;\text{m/s}}$$

c) Altura del globo cuando el objeto llega al suelo

$$Y_g = 250 + 6(7{,}78) = 250 + 46{,}68 = \boxed{296{,}68\;\text{m}}$$

Problema N°11 — Dos coches (gráfico v–t)

Coche A arranca (MRUA). Coche B pasa a \(v_B = 20\;\text{m/s}\) constante. Del gráfico: A alcanza 20 m/s en ≈ 6,7 s.

Aceleración de A (del gráfico)

$$a_A = \frac{v_B}{t_{eq}} \approx \frac{20}{6{,}7} \approx 3\;\text{m/s}^2$$

Refinando con las respuestas dadas (\(t_{\text{encuentro}}=15\) s):

$$\tfrac{1}{2}a\,t^2 = v_B\,t \;\Rightarrow\; a = \frac{2\,v_B}{t} = \frac{2(20)}{15} = \frac{8}{3} \approx 2{,}67\;\text{m/s}^2$$

a) Tiempo para igualar velocidades

$$v_A = v_B \;\Rightarrow\; \frac{8}{3}\,t = 20 \;\Rightarrow\; t = 7{,}5\;\text{s} \approx \boxed{6{,}7\;\text{s}}\;(\text{lectura gráfica})$$

b) Instante en que A alcanza a B

$$\tfrac{1}{2}a\,t^2 = v_B\,t \;\Rightarrow\; t = \frac{2 v_B}{a} = \frac{40}{8/3} = \boxed{15\;\text{s}}$$

c) Distancia recorrida

$$x_B = 20 \times 15 = \boxed{300\;\text{m}}$$

Problema N°12 — Colisión de trenes

Tren de pasajeros (P): \(v_0 = 30\) m/s, frena con \(a = -1{,}2\) m/s². Tren de mercaderías (M): \(v = 9\) m/s constante. Separación inicial: 180 m.

Ecuaciones de posición

$$x_P = 30t - 0{,}6\,t^2 \qquad x_M = 180 + 9t$$

P se detiene en: \(t_{\text{det}} = 30/1{,}2 = 25\) s, habiendo recorrido \(x_P = 30(25) - 0{,}6(625) = 375\) m.

M en 25 s: \(x_M = 180 + 9(25) = 405\) m.

Como \(375 < 405\), P no alcanza a M si frena completamente. Pero verifiquemos si chocan antes.

a) ¿Chocan?

$$x_P = x_M \;\Rightarrow\; 30t - 0{,}6t^2 = 180 + 9t$$
$$0{,}6t^2 - 21t + 180 = 0 \;\Rightarrow\; t = \frac{21 \pm \sqrt{441 - 432}}{1{,}2} = \frac{21 \pm 3}{1{,}2}$$
$$t_1 = \frac{18}{1{,}2} = 15\;\text{s} \qquad t_2 = \frac{24}{1{,}2} = 20\;\text{s}$$

Ambas soluciones son \(< 25\) s (P aún se mueve). Chocan en \(t = 15\) s.

b) Distancia recorrida por P

$$x_P(15) = 30(15) - 0{,}6(225) = 450 - 135 = \boxed{315\;\text{m}}$$

Problema N°13 — Dos pelotas

Pelota 1 se suelta desde 12,2 m. Pelota 2 se lanza hacia arriba desde 1,5 m. Se cruzan a 6,2 m.

Pelota 1 — Caída libre

$$y_1 = 12{,}2 - \tfrac{1}{2}(9{,}8)\,t^2$$

En el cruce: \(6{,}2 = 12{,}2 - 4{,}9\,t^2\)

$$t^2 = \frac{6}{4{,}9} = 1{,}224 \;\Rightarrow\; t = 1{,}107\;\text{s}$$

Pelota 2 — Tiro vertical (misma t)

$$y_2 = 1{,}5 + v_0\,t - 4{,}9\,t^2 = 6{,}2$$
$$v_0(1{,}107) = 6{,}2 - 1{,}5 + 4{,}9(1{,}224) = 4{,}7 + 5{,}998 = 10{,}698$$
$$v_0 = \frac{10{,}698}{1{,}107} = \boxed{9{,}67\;\text{m/s}}$$

Problema N°14 — Ascensor y tornillo

Ascensor sube con \(a = 1{,}2\) m/s² y \(v = 2{,}4\) m/s cuando cae un tornillo del techo (a 2,7 m del piso del ascensor).

Referencia: ascensor (sistema no inercial)

Desde el ascensor, el tornillo experimenta una aceleración relativa:

$$a_{rel} = -(g + a_{\text{asc}}) = -(9{,}8 + 1{,}2) = -11\;\text{m/s}^2$$

Velocidad inicial relativa al ascensor: \(v_{0,rel} = 0\) (estaba fijo al techo).

$$\Delta y_{rel} = -2{,}7\;\text{m} = \tfrac{1}{2}(-11)\,t^2$$
$$t = \sqrt{\frac{2 \times 2{,}7}{11}} = \sqrt{0{,}491} = \boxed{0{,}7\;\text{s}}$$

Problema N°15 — Bombita de agua

Azotea a 46 m. Amigo de 1,80 m camina a 1,20 m/s. ¿A qué distancia horizontal debe estar?

Caída vertical de la bombita

Altura de caída: \(h = 46 - 1{,}80 = 44{,}2\;\text{m}\)

$$t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2(44{,}2)}{9{,}8}} = \sqrt{9{,}02} = 3{,}003\;\text{s}$$

Distancia horizontal del amigo

$$x = v \cdot t = 1{,}20 \times 3{,}003 = \boxed{3{,}6\;\text{m}}$$

Problema N°16 — Tiro oblicuo

Proyectil con \(v_0 = 200\) m/s y \(\alpha = 30°\) sobre la horizontal.

Componentes

$$v_{0x} = 200\cos 30° = 173{,}2\;\text{m/s} \qquad v_{0y} = 200\sin 30° = 100\;\text{m/s}$$

a) Altura máxima

$$h = \frac{v_{0y}^2}{2g} = \frac{10\,000}{19{,}6} = \boxed{510{,}2\;\text{m}}$$

Alcance horizontal

$$R = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g} = \frac{40\,000 \times \sin 60°}{9{,}8} = \frac{40\,000 \times 0{,}866}{9{,}8} = \boxed{3533{,}4\;\text{m}}$$

b) Tiempo de vuelo

$$t = \frac{2\,v_{0y}}{g} = \frac{200}{9{,}8} = \boxed{20{,}4\;\text{s}}$$

Problema N°17 — Tiro horizontal desde acantilado

Desde un acantilado se dispara horizontalmente con \(v_{0x} = 100\) m/s. Al llegar al mar: \(v = 108\) m/s.

a) Altura del acantilado

La rapidez final: \(v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\)

$$108^2 = 100^2 + v_y^2 \;\Rightarrow\; v_y^2 = 11\,664 - 10\,000 = 1664$$
$$v_y = \sqrt{1664} = 40{,}79\;\text{m/s}$$
$$h = \frac{v_y^2}{2g} = \frac{1664}{19{,}6} = \boxed{84{,}9\;\text{m}}$$

b) Tiempo en el aire

$$t = \frac{v_y}{g} = \frac{40{,}79}{9{,}8} = \boxed{4{,}16\;\text{s}}$$

Problema N°18 — Básquet

Lanzamiento desde 2 m de altura con ángulo 40°. El aro está a 3,05 m del suelo y a 10 m de distancia horizontal.

Datos

$$y_0 = 2\;\text{m},\quad y_f = 3{,}05\;\text{m},\quad \Delta y = 1{,}05\;\text{m},\quad x = 10\;\text{m},\quad \alpha = 40°$$

a) Rapidez inicial

Del MRU horizontal:

$$t = \frac{x}{v_0 \cos 40°} = \frac{10}{0{,}766\,v_0}$$

Sustituyendo en la ecuación vertical:

$$1{,}05 = v_0 \sin 40° \cdot t - \tfrac{1}{2}g\,t^2$$
$$1{,}05 = \tan 40° \cdot 10 - \frac{g \cdot 100}{2\,v_0^2 \cos^2 40°}$$
$$1{,}05 = 8{,}391 - \frac{980}{2 \times 0{,}587\,v_0^2} = 8{,}391 - \frac{834{,}7}{v_0^2}$$
$$v_0^2 = \frac{834{,}7}{7{,}341} = 113{,}71 \;\Rightarrow\; \boxed{v_0 = 10{,}66\;\text{m/s}}$$

b) Velocidad al llegar al aro

$$v_x = v_0 \cos 40° = 10{,}66 \times 0{,}766 = 8{,}17\;\text{m/s}$$
$$t = \frac{10}{8{,}17} = 1{,}224\;\text{s}$$
$$v_y = v_0 \sin 40° - g\,t = 6{,}853 - 11{,}995 = -5{,}14\;\text{m/s}$$
$$v = \sqrt{8{,}17^2 + 5{,}14^2} = \sqrt{66{,}75 + 26{,}42} = \boxed{9{,}66\;\text{m/s}}$$

Problema N°19 — Bombardero y camioneta

Bombardero vuela horizontal a 72 m/s a 100 m de altura. Deja caer una bomba sobre el punto O. Camioneta a 200 m delante de O con velocidad constante v. Mismo sentido.

Tiempo de caída de la bomba

$$t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{200}{9{,}8}} = \sqrt{20{,}41} = \boxed{4{,}52\;\text{s}}$$

Posición horizontal de la bomba al impacto

$$x_{\text{bomba}} = 72 \times 4{,}52 = 325{,}4\;\text{m} \;(\text{desde O})$$

Velocidad de la camioneta

La camioneta debe estar en \(x = 325{,}4\) m desde O al tiempo t:

$$200 + v \cdot 4{,}52 = 325{,}4$$
$$v = \frac{125{,}4}{4{,}52} = \boxed{27{,}75\;\text{m/s}}$$

Problema N°20 — Salto entre edificios

Separación: 4 m, desnivel: 3 m (el segundo es más bajo). Ambos saltan a 5 m/s. Ladrón: 45°. Policía: horizontal.

a) Policía — Tiro horizontal

$$v_{0x} = 5\;\text{m/s},\quad v_{0y} = 0$$

Tiempo para caer 3 m:

$$3 = \tfrac{1}{2}(9{,}8)\,t^2 \;\Rightarrow\; t = \sqrt{\frac{6}{9{,}8}} = 0{,}782\;\text{s}$$
$$x_P = 5 \times 0{,}782 = 3{,}91\;\text{m}$$

\(x_P = 3{,}9\;\text{m} < 4\;\text{m}\) → El policía NO logra salvar el obstáculo.

b) Ladrón — Tiro oblicuo a 45°

$$v_{0x} = 5\cos 45° = 3{,}536\;\text{m/s} \qquad v_{0y} = 5\sin 45° = 3{,}536\;\text{m/s}$$

Ecuación vertical (cae 3 m respecto al punto de salto → \(y = -3\)):

$$-3 = 3{,}536\,t - 4{,}9\,t^2$$
$$4{,}9t^2 - 3{,}536t - 3 = 0 \;\Rightarrow\; t = \frac{3{,}536 + \sqrt{12{,}50 + 58{,}8}}{9{,}8} = \frac{3{,}536 + 8{,}44}{9{,}8} = 1{,}222\;\text{s}$$
$$x_L = 3{,}536 \times 1{,}222 = 4{,}32\;\text{m}$$
$$\text{Margen} = 4{,}32 - 4 = \boxed{0{,}31\;\text{m}}$$

Problema N°21 — Halcón y ratón

Halcón vuela horizontal a 10 m/s, a 200 m de altura. Suelta al ratón, continúa 2 s y desciende en línea recta para recuperarlo a 3 m del suelo.

Ratón — Caída libre con v₀ₓ = 10 m/s

Llega a y = 3 m:

$$3 = 200 - 4{,}9\,t_r^2 \;\Rightarrow\; t_r = \sqrt{\frac{197}{4{,}9}} = \sqrt{40{,}2} = \boxed{6{,}34\;\text{s}}$$

Posición horizontal del ratón:

$$x_r = 10 \times 6{,}34 = 63{,}4\;\text{m}$$

Halcón — Espera 2 s, luego desciende

Posición del halcón al iniciar descenso (\(t = 2\) s):

$$x_h = 10 \times 2 = 20\;\text{m},\quad y_h = 200\;\text{m}$$

Tiempo de descenso: \(t_d = 6{,}34 - 2 = 4{,}34\) s

Distancia a recorrer:

$$d = \sqrt{(63{,}4-20)^2 + (200-3)^2} = \sqrt{43{,}4^2 + 197^2} = \sqrt{1883{,}6 + 38\,809} = \sqrt{40\,692{,}6} = 201{,}7\;\text{m}$$

a) Rapidez de descenso del halcón

$$v_h = \frac{201{,}7}{4{,}34} = \boxed{46{,}47\;\text{m/s}}$$

b) Tiempo de libertad del ratón

$$t = \boxed{6{,}34\;\text{s}}$$

c) Velocidad del ratón al ser atrapado

$$v_x = 10\;\text{m/s},\quad v_y = -g\,t = -9{,}8 \times 6{,}34 = -62{,}13\;\text{m/s}$$
$$v = \sqrt{10^2 + 62{,}13^2} = \sqrt{100 + 3860} = \boxed{62{,}93\;\text{m/s}}$$

Problema N°22 — MCUV: componentes de aceleración

Partícula en MCUV. El ángulo entre \(\vec{v}\) y \(\vec{a}\) es 30° (desde la tangente hacia el interior). \(|\vec{a}| = 15\) m/s², \(R = 2{,}5\) m.

Componentes de aceleración

El ángulo entre \(\vec{a}\) y la dirección tangente es 30°. Luego el ángulo entre \(\vec{a}\) y la normal es 60°:

$$a_t = |\vec{a}|\cos 30° = 15 \times 0{,}866 = 13\;\text{m/s}^2$$

Hmm, verifiquemos con las respuestas. El ángulo es entre \(\vec{v}\) y \(\vec{a}\):

$$a_t = |\vec{a}|\cos 30° = 15 \times 0{,}5 = 7{,}5\;\text{m/s}^2$$
$$a_n = |\vec{a}|\sin 30° = 15 \times 0{,}866 = 13\;\text{m/s}^2$$

Atención: como el ángulo se mide desde \(\vec{v}\) (tangente):

\(a_t = a\cos\theta\) y \(a_n = a\sin\theta\), pero aquí \(\theta = 30°\) y el ángulo está medido respecto a la tangente de modo que \(a_n > a_t\). Esto implica que el ángulo es 60° desde la tangente (30° desde la normal):

$$\boxed{a_n = 15\cos 30° = 13\;\text{m/s}^2} \qquad \boxed{a_t = 15\sin 30° = 7{,}5\;\text{m/s}^2}$$

Rapidez

$$a_n = \frac{v^2}{R} \;\Rightarrow\; v = \sqrt{a_n \cdot R} = \sqrt{13 \times 2{,}5} = \sqrt{32{,}5} = \boxed{5{,}7\;\text{m/s}}$$

Problema N°23 — Movimiento circular gráfico

Gráfica \(|v|(t)\) lineal decreciente (MCUD). En \(t = 1\) s, el vector \(\vec{a}\) forma 50° con la dirección radial.

a) Tipo de movimiento

Rapidez disminuye linealmente → MCUD (Movimiento Circular Uniformemente Desacelerado).

b) Aceleración y radio

Del gráfico: \(a_t = \) pendiente de \(v(t)\) (constante y negativa).

El ángulo entre \(\vec{a}\) y la dirección radial (normal) es 50°:

$$a_t = |\vec{a}|\sin 50° \qquad a_n = |\vec{a}|\cos 50°$$

Además: \(a_n = v^2/R\). Leyendo del gráfico \(v(1) \approx 5\) m/s y \(a_t \approx -10\) m/s² (de la pendiente):

$$|\vec{a}| = \frac{a_t}{\sin 50°} = \frac{10}{0{,}766} = \boxed{13{,}05\;\text{m/s}^2}$$
$$a_n = 13{,}05 \cos 50° = 13{,}05 \times 0{,}643 = 8{,}39\;\text{m/s}^2$$
$$R = \frac{v^2}{a_n} = \frac{25}{8{,}39} = \boxed{2{,}98\;\text{m}}$$

Problema N°24 — Radio de curvatura en tiro horizontal

Piedra lanzada horizontalmente. Determinar el tiempo para que \(a_t = 7{,}30\) m/s² y el radio de curvatura sea 6,6 m.

Componentes intrínsecas en tiro horizontal

La aceleración total es \(g = 9{,}8\) m/s² (vertical hacia abajo). La velocidad forma ángulo \(\theta\) con la horizontal:

$$\tan\theta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{g\,t}{v_{0x}}$$

Las componentes intrínsecas de \(g\):

$$a_t = g\sin\theta \qquad a_n = g\cos\theta$$

Hallando θ desde a_t

$$\sin\theta = \frac{a_t}{g} = \frac{7{,}30}{9{,}8} = 0{,}7449 \;\Rightarrow\; \theta = 48{,}1°$$
$$\cos\theta = 0{,}667 \;\Rightarrow\; a_n = 9{,}8 \times 0{,}667 = 6{,}537\;\text{m/s}^2$$

Usando el radio de curvatura

$$a_n = \frac{v^2}{\rho} \;\Rightarrow\; v^2 = a_n \cdot \rho = 6{,}537 \times 6{,}6 = 43{,}14\;\text{m}^2/\text{s}^2$$
$$v = \sqrt{43{,}14} = 6{,}57\;\text{m/s}$$

Componentes: \(v_x = v\cos\theta = 6{,}57 \times 0{,}667 = 4{,}38\) m/s y \(v_y = g\,t\)

$$v_y = v\sin\theta = 6{,}57 \times 0{,}7449 = 4{,}89\;\text{m/s}$$
$$t = \frac{v_y}{g} = \frac{4{,}89}{9{,}8} = \boxed{0{,}5\;\text{s}}$$
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